Klasa 3 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📄Zadania z arkuszy 49
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Zadanie nr 9 · Matura 2026
Rozwiązaniem równania $\dfrac{x+2}{3x-1}=\dfrac{2}{5}$ jest liczba
A$\tfrac13$
B$\tfrac{8}{11}$
C$3$
D$12$
Rozwiązanie
$5(x+2)=2(3x-1)$.
$5x+10=6x-2$.
$x=12$.
Odpowiedź: D
Zadanie nr 9 · Matura 2026
Rozwiązaniem równania \(\dfrac{x+2}{3x-1}=\dfrac{2}{5}\) jest liczba:
A\(\frac{1}{3}\)
B\(\frac{8}{11}\)
C\(3\)
D\(12\)
Krok 1. Wyznaczenie dziedziny równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik nie może być równy zero:
$$3x-1\neq0$$
$$3x\neq1$$
$$x\neq\frac{1}{3}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Do równania można podejść na różne sposoby, ale w tego typu przypadkach najlepiej sprawdzi się mnożenie na krzyż:
$$5(x+2)=2(3x-1)$$
$$5x+10=6x-2$$
$$-x=-12$$
$$x=12$$
Otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami, więc poszukiwanym rozwiązaniem jest \(x=12\).
Zadanie nr 8 · Matura 2025
Dane jest równanie
\(\frac{3}{3x-7}=\frac{5x}{x-8}\), gdzie \(x\neq\frac{7}{3}\) i \(x\neq 8\).
Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(\frac{5}{4},+\infty\right)\). Zapisz obliczenia.
Równanie $\dfrac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: $(-1)$
Cma dokładnie dwa rozwiązania: $(-2)$ oraz $3$
Dma trzy rozwiązania: $(-1),(-2),3$
Rozwiązanie
Ułamek $=0$, gdy licznik $=0$ i mianownik $\ne0$. $x+1=0\Rightarrow x=-1$; przy $x=-1$ mianownik $\ne0$. Wartości $-2,3$ są wykluczone (dziedzina). Jedno rozwiązanie: $x=-1$.
Odpowiedź: B
Zadanie nr 7 · Matura 2024
Równanie \(\dfrac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \((-1)\)
Cma dokładnie dwa rozwiązania: \((-2)\) oraz \(3\)
Dma dokładnie trzy rozwiązania: \((-1)\), \((-2)\) oraz \(3\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), dlatego też wartość mianownika musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$(x+2)(x-3)\neq0$$
$$x+2\neq0 \quad\land\quad x-3\neq0$$
$$x\neq-2 \quad\land\quad x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz przystępujemy do rozwiązania naszego równania, a zaczynamy od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). W związku z tym:
$$\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0 \quad\bigg/\cdot(x+2)(x-3)$$
$$x+1=0$$
$$x=-1$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W tym przypadku rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim liczba \(-1\).
Zadanie nr 6 · Matura 2024
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(\frac{x(x+5)(2-x)}{2x+4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
Adwa rozwiązania: \((-5)\) oraz \(2\).
Bdwa rozwiązania: \((-5)\) oraz \(0\).
Ctrzy rozwiązania: \((-5)\), \(0\) oraz \(2\).
Dcztery rozwiązania: \((-5)\), \((-2)\), \(0\) oraz \(2\).
Wyznaczamy dziedzinę — mianownik musi być różny od zera:
\(2x+4\neq 0\), czyli \(x\neq -2\)
Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru:
\(x(x+5)(2-x)=0\)
\(x=0\) lub \(x=-5\) lub \(x=2\)
Wszystkie trzy liczby należą do dziedziny (żadna nie jest równa \(-2\)), więc równanie ma trzy rozwiązania.
Odpowiedź: C.
Zadanie nr 8 · Próbny 2024
Rozwiąż równanie $\dfrac{x+3}{x-1}=\dfrac{x}{2x-2}$. Zapisz konieczne założenie i obliczenia.
Założenie: $x-1\ne 0$ i $2x-2\ne 0$, czyli $x\ne 1$.
Ponieważ $2x-2=2(x-1)$, mnożymy obie strony przez $2(x-1)$: $2(x+3)=x$.
$2x+6=x\Rightarrow x=-6$. Warunek $x\ne 1$ jest spełniony.
Zadanie nr 8 · Matura 2023
Równanie $\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: $-1$
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: $1$
Dma dwa rozwiązania: $-1$ oraz $1$
Rozwiązanie
Dziedzina wyklucza $x=1$ i $x=-1$. Licznik zeruje się tylko dla $x=-1$ lub $x=1$ — obie wartości poza dziedziną. Brak rozwiązań.
Odpowiedź: A
Zadanie nr 8 · Matura 2023
Równanie \(\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\)
Dma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$(x-1)(x+1)^2\neq0$$
Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2$$
$$(x+1)(x-1)^2=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie nr 8 · Matura 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(\frac{\left(x^2-3x\right)\left(x^2+1\right)}{x^2-25}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
Ajedno rozwiązanie.
Bdwa rozwiązania.
Ctrzy rozwiązania.
Dcztery rozwiązania.
Wyznaczamy dziedzinę — mianownik musi być różny od zera:
\(x^2-25\neq 0\), czyli \(x\neq 5\) i \(x\neq -5\)
Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest równy zeru:
\(\left(x^2-3x\right)\left(x^2+1\right)=0\)
\(x(x-3)\left(x^2+1\right)=0\)
Czynnik \(x^2+1\) jest zawsze dodatni, więc nie daje rozwiązań. Pozostaje:
\(x=0\) lub \(x=3\)
Obie liczby należą do dziedziny, więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 7 · Próbny 2023
Równanie \(\dfrac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych:
Adokładnie jedno rozwiązanie: \(x=3\).
Bdokładnie dwa rozwiązania: \(x=2, x=3\).
Cdokładnie trzy rozwiązania: \(x=1, x=2, x=3\).
Ddokładnie cztery rozwiązania: \(x=-3, x=1, x=2, x=3\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zera, to mianownik naszego ułamka musi być różny od zera. W związku z tym, moglibyśmy zapisać, że:
$$(1-x)(2-x)\neq0$$
Mamy postać iloczynową, zatem:
$$1-x\neq0 \quad\lor\quad 2-x\neq0$$
$$x\neq1 \quad\lor\quad x\neq2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przejść do rozwiązywania równania. Najlepiej jest rozpocząć od wymnożenia całości przez to, co jest w mianowniku ułamka, dzięki czemu otrzymamy:
$$\frac{(2x-4)(2x-6)^2}{(1-x)(2-x)}=0 \quad\bigg/\cdot(1-x)(2-x)$$
$$(2x-4)(2x-6)^2=0$$
Otrzymaliśmy równanie w postaci iloczynowej, zatem chcąc je rozwiązać, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera:
$$2x-4=0 \quad\lor\quad 2x-6=0$$
$$2x=4 \quad\lor\quad 2x=6$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować ze względu na zapisane wcześniej założenia. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=2\) musimy odrzucić, ponieważ dla tej liczby wartość mianownika wychodziła równa \(0\). Stąd też to równanie będzie mieć jedynie jedno rozwiązanie i będzie nim \(x=3\).
Zadanie nr 10 · Matura 2023
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Równanie \(\frac{\left(x^2-3x\right)(x+2)}{x^2-4}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
Ajedno rozwiązanie.
Bdwa rozwiązania.
Ctrzy rozwiązania.
Dcztery rozwiązania.
Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Mianownik musi być różny od zera:
\(x^2-4\neq 0\), czyli \(x\neq 2\) i \(x\neq -2\)
Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru:
\(\left(x^2-3x\right)(x+2)=0\)
\(x(x-3)(x+2)=0\)
\(x=0\) lub \(x=3\) lub \(x=-2\)
Liczba \(-2\) nie należy do dziedziny, więc ją odrzucamy.
Pozostają dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=3\).
Odpowiedź: B.
Zadanie nr 8 · Matura 2023
Równanie \(\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\)
Dma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$(x-1)(x+1)^2\neq0$$
Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2$$
$$(x+1)(x-1)^2=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie nr 8 · Matura 2023
Równanie \(\dfrac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(1\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(-1\)
Dma dokładnie dwa rozwiązania: \(-1\) oraz \(1\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to nasz mianownik musi być różny od zera. To oznacza, że:
$$(x-1)(x+1)^2\neq0$$
Teraz zachowujemy się dokładnie tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli moglibyśmy zapisać, że \(x-1\neq0\) oraz że \(x+1\neq0\), co prowadzi nas do wniosku, że \(x\neq1\) oraz \(x\neq-1\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz możemy przystąpić do rozwiązania naszego równania. Całość możemy standardowo rozpocząć od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0 \quad\bigg/\cdot (x-1)(x+1)^2$$
$$(x+1)(x-1)^2=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x+1=0 \quad\lor\quad x-1=0$$
$$x=-1 \quad\lor\quad x=1$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. I tu się okazuje, że obydwa rozwiązania musimy odrzucić, ponieważ dla obydwu rozwiązań otrzymalibyśmy w mianowniku liczbę równą \(0\). To prowadzi nas do wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie nr 8 · Matura 2021
Równanie \(\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
Ajedno rozwiązanie
Bdwa rozwiązania
Ctrzy rozwiązania
Dcztery rozwiązania
Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka znalazła się niewiadoma \(x\), dlatego koniecznie musimy zapisać stosowne założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x^2-49\neq0$$
$$x^2\neq49$$
$$x\neq7 \quad\lor\quad x\neq=-7$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Dopiero po zapisaniu założeń, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony równania przez wartość z mianownika, zatem:
$$\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-49)$$
$$x^2-7x=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam proste równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zastosować tutaj deltę (pamiętając o tym, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale to zadanie da się rozwiązać jeszcze prościej. Wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias, dzięki czemu otrzymamy:
$$x^2-7x=0$$
$$x(x-7)=0$$
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które przypomina klasyczną postać iloczynową. Postępowanie jest tutaj standardowe, czyli musimy odpowiednie wartości przyrównać do zera, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x-7=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=7$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na sam koniec musimy jeszcze zweryfikować otrzymane odpowiedzi. Z rozwiązania równania kwadratowego wyszło nam, że pasują nam dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=7\). Niestety to drugie rozwiązanie musimy odrzucić ze względu na założenia zapisane w pierwszym kroku. Z tego też względu całe równanie ma tylko jedno rozwiązanie należące do zbioru liczb rzeczywistych i będzie nim \(x=0\).
Zadanie nr 11 · Matura 2020
Rozwiązaniem równania \(\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0\) jest liczba:
A-3
B0
C3
D9
Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
W mianowniku nie możemy mieć wartości równej zero, dlatego że w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. W związku z tym musimy zapisać założenie, że:
$$x^2+x\neq0$$
$$x(x+1)\neq0$$
$$x\neq0 \quad\lor\quad x+1\neq0$$
$$x\neq0 \quad\lor\quad x\neq-1$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając założenia możemy przejść do obliczeń. Mnożąc obydwie strony równania przez \(x^2+x\) otrzymamy:
$$\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2+x)$$
$$x^2-3x=0$$
Ponownie mamy na swojej drodze równanie kwadratowe. Możemy oczywiście obliczyć deltę (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), natomiast dużo prościej będzie po prostu wyłączyć \(x\) przed nawias:
$$x^2-3x=0$$
$$x(x-3)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x-3=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Musimy jeszcze sprawdzić nasze rozwiązania z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=0\) musimy odrzucić, zatem zostaje nam jedynie \(x=3\).
Zadanie nr 8 · Próbny 2020
Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\neq-2\), jest liczba należąca do przedziału:
To oznacza, że rozwiązanie równania należy do przedziału \(x\in\langle-5,-2)\).
Zadanie nr 1 · Matura 2020
Równość \(2+a=\frac{9a}{2a+1}\) jest prawdziwa, gdy:
A\(a=-2\)
B\(a=-1\)
C\(a=1\)
D\(a=2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka pojawia nam się niewiadoma \(a\), więc musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość mianownika musi być różna od zera, zatem:
$$2a+1\neq0$$
$$2a\neq-1$$
$$a\neq-\frac{1}{2}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Zaczynając od wymnożenia obu stron nierówności przez \(2a+1\), możemy zapisać, że:
$$2+a=\frac{9a}{2a+1} \quad\bigg/\cdot(2a+1)$$
$$(2+a)\cdot(2a+1)=9a$$
$$4a+2+2a^2+a=9a$$
$$2a^2+5a+2=9a$$
$$2a^2-4a+2=0$$
$$a^2-2a+1=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem w ruch musi pójść obliczenie delty.
Delta wyszła równa \(0\), zatem to równanie będzie mieć tylko jedno rozwiązanie:
$$a=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymany wynik nie wyklucza się z założeniami. W tym przypadku tak nie jest, bo wynik wyszedł inny niż \(-\frac{1}{2}\), zatem rozwiązaniem tego równania jest \(a=1\).
Zadanie nr 6 · Matura 2020
Równanie \(\frac{1-x}{x}=2x\) w zbiorze liczb całkowitych:
Anie ma żadnego rozwiązania
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma więcej niż dwa rozwiązania
Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka mamy niewiadomą \(x\) dlatego musimy zapisać odpowiednie założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x\neq0$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązanie równania możemy zacząć od wymnożenia całości przez \(x\):
$$\frac{1-x}{x}=2x \quad\bigg/\cdot x$$
$$1-x=2x^2$$
$$-2x^2-x+1=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wyliczenie delty:
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na początek musimy sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniem, że \(x\neq0\). W tym przypadku tak nie jest, zatem żadnego rozwiązania nie wykluczamy.
Nasze zadanie polega na ustaleniu, ile rozwiązań całkowitych ma nasze równanie. Takie rozwiązanie jest tylko jedno, czyli \(x=-1\).
Zadanie nr 6 · Matura 2019
Równanie \(\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0\) ma dokładnie:
Ajedno rozwiązanie: \(x=2\)
Bjedno rozwiązanie: \(x=-2\)
Cdwa rozwiązania: \(x=2\), \(x=-4\)
Ddwa rozwiązania: \(x=-2\), \(x=4\)
Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$(x-4)^2\neq0$$
$$x\neq4$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przystąpić do rozwiązywania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość w mianowniku:
$$\frac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-4)^2$$
$$(x-2)(x+4)=0$$
Aby to równanie było równe \(0\), to albo pierwszy nawias, albo drugi, muszą dać wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-4$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To bardzo ważny krok, bowiem musimy jeszcze zweryfikować, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. W naszym przypadku żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami, zatem możemy stwierdzić, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=2\) oraz \(x=-4\).
Zadanie nr 19 · Próbny 2019
Równanie \(\frac{x^2-9}{x-3}=0\):
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie trzy rozwiązania
Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od \(0\). To oznacza, że:
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz bez przeszkód możemy przejść do obliczeń, a całość najprościej będzie po prostu wymnożyć przez \(x-3\), otrzymując:
$$\frac{x^2-9}{x-3}=0 \quad\bigg/\cdot(x-3)$$
$$x^2-9=0$$
$$x^2=9$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy nasze rozwiązanie jest zgodne z założeniami. Okazuje się, że jedno z rozwiązań, a konkretnie \(x=3\), musimy odrzucić właśnie ze względu na założenia. To oznacza, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=-3\).
Zadanie nr 1 · Matura 2019
Rozwiązaniem równania \(\frac{(x^2-2x-3)\cdot(x^2-9)}{x-1}=0\) nie jest liczba:
A\(-3\)
B\(-1\)
C\(1\)
D\(3\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od \(0\). To oznacza, że:
$$x-1\neq0$$
$$x\neq1$$
I tak prawdę mówiąc to już po wykonaniu tego kroku jesteśmy w stanie stwierdzić, że rozwiązaniem naszego równania na pewno nie jest liczba \(1\), bo nawet jak gdzieś wyszedłby nam \(x=1\), to tę jedynkę musielibyśmy odrzucić ze względu na założenia.
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Gdybyśmy nie dostrzegli tego, że już jesteśmy w stanie wskazać prawidłową odpowiedź, to powinniśmy standardowo przystąpić do rozwiązania tego równania, mnożąc obie strony przez \(x-1\). Otrzymamy wtedy:
Aby wartość tego równania była równa \(0\), to pierwszy lub drugi nawias musi być równy zero. To oznacza, że otrzymamy dwa równania:
$$x^2-2x-3=0\quad\lor\quad x^2-9=0$$
Równanie \(x^2-2x-3=0\) jest zapisane w postaci ogólnej, więc możemy je rozwiązać korzystając z delty:
Drugie równanie, czyli \(x^2-9=0\), jest jeszcze prostsze do policzenia, bo jesteśmy w stanie zrobić to w pamięci:
$$x^2-9=0$$
$$x^2=9$$
$$x=3\quad\lor\quad x=-3$$
Rozwiązaniami tego równania są więc liczby: \(-1\), \(3\) oraz \(-3\). Żadne z tych rozwiązań nie wyklucza się z założeniami. To oznacza, że jedyną liczbą spośród proponowanych, która nie jest rozwiązaniem tego równania, jest liczba \(1\).
Zadanie nr 27 · Matura 2019
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tego równania wymiernego, zatem wymnażając obydwie strony przez \(x-3\) otrzymamy:
$$\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3 \quad\bigg/\cdot(x-3)$$
$$3x^2-8x-3=(x-3)\cdot(x-3)$$
$$3x^2-8x-3=x^2-6x+9$$
$$2x^2-2x-12=0 \quad\bigg/:2$$
$$x^2-x-6=0$$
(Podzielenie obu stron przez 2 nie jest koniecznością, ale dzięki temu działać będziemy na mniejszych liczbach).
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy je rozwiązać korzystając tradycyjnie z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=1+24=25$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(x=-2\) oraz \(x=3\). Niestety wynik \(x=3\) musimy odrzucić ze względu na założenia, które zapisaliśmy na początku tego zadania. W związku z tym jedynym poprawnym rozwiązaniem tego równania będzie \(x=-2\).
Zadanie nr 4 · Matura 2019
Równość \(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1\) jest prawdziwa dla:
A\(a=\frac{11}{20}\)
B\(a=\frac{8}{9}\)
C\(a=\frac{9}{8}\)
D\(a=\frac{20}{11}\)
Krok 1. Uproszczenie całego zapisu.
Aby dodawać do siebie ułamki zwykłe to musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Rozpiszmy więc najpierw to co jesteśmy w stanie obliczyć i uprośćmy tym samym całe działanie:
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{a}=1$$
$$\frac{5}{20}+\frac{4}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20}$$
$$\frac{9}{20}+\frac{1}{a}=\frac{20}{20}$$
$$\frac{1}{a}=\frac{11}{20}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania wymiernego.
Powstało nam typowe równanie wymierne (czyli równanie z niewiadomą w mianowniku), więc możemy je rozwiązać np. wykonując mnożenie na krzyż. Otrzymamy wtedy:
$$1\cdot20=11a$$
$$11a=20$$
$$a=\frac{20}{11}$$
Zadanie nr 6 · Matura 2019
Równanie \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}=0\)
Ama trzy różne rozwiązania: \(x=1, x=3, x=-2\)
Bma trzy różne rozwiązania: \(x=-1, x=−3, x=2\)
Cma dwa różne rozwiązania: \(x=1, x=-2\)
Dma dwa różne rozwiązania: \(x=-1, x=2\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego iż na matematyce nie mamy dzielenia przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mnożąc obydwie strony równania przez \(x-3\) otrzymamy:
$$(x-1)(x+2)=0$$
Otrzymaliśmy klasyczne równanie kwadratowe w postaci iloczynowej. Aby rozwiązać to równanie musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x-1=0 \lor x+2=0$$
$$x=1 \lor x=-2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, żadne z nich nie wyklucza się z założeniami, zatem to równanie ma dwa różne rozwiązania: \(x=1\) oraz \(x=-2\).
Zadanie nr 7 · Matura 2018
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}\) jest liczba:
A\(-2\)
B\(2\)
C\(4\)
D\(-4\)
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to musimy zapisać założenia do naszego równania, tak aby mianownik tego ułamka nie był równy zero. W związku z tym:
$$3(x+2)\neq0$$
$$x+2\neq0$$
$$x\neq-2$$
W tym konkretnym zadaniu zapisanie założeń nie przyda nam się do dalszej części zadania, ale bardzo często w takich zadaniach jakieś rozwiązanie będzie się wykluczać z założeniami i pewne wyniki będziemy musieli wykluczać. Stąd też dobrze jest nabrać wprawy i zapisywać takie założenia zawsze w tego typu zadaniach.
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Tego typu równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc na krzyż:
$$\frac{x-2}{3(x+2)}=\frac{1}{9}$$
$$9\cdot(x-2)=3(x+2)$$
$$9x-18=3x+6$$
$$6x=24$$
$$x=4$$
Rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, zatem \(x=4\).
Zadanie nr 7 · Próbny 2018
Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{3x(x^2-9)}{x-3}=0\) wynosi:
A\(4\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(1\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż nie istnieje w matematyce dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od \(0\). W związku z tym:
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przejść do rozwiązywania równania, zaczynając od wymnożenia obu stron przez wartość, która znajduje się w mianowniku, czyli przez \(x-3\):
$$\frac{3x(x^2-9)}{x-3}=0 \quad\bigg/\cdot(x-3)$$
$$3x(x^2-9)=0$$
Aby to równanie było równe \(0\), to albo \(3x\) albo \(x^2-9\) musi być równe \(0\), zatem:
$$3x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x^2=9$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Zapisanie rozwiązań równania.
Musimy teraz zweryfikować nasze rozwiązania i sprawdzić czy jakieś rozwiązanie nie wyklucza się z naszymi założeniami z kroku pierwszego. Okazuje się, że jedno rozwiązanie (\(x=3\)) musimy wykluczyć ze względu właśnie na założenia, dlatego równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=-3\).
Zadanie nr 6 · Matura 2018
Równanie \(x-\frac{1}{2x+1}=0\)
Ama dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste
Bma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste
Cma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste
Dnie ma rozwiązań
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. W związku z tym:
$$2x+1\neq0$$
$$2x\neq-1$$
$$x\neq-\frac{1}{2}$$
To oznacza, że dziedziną równania są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz \(-\frac{1}{2}\), co matematycznie możemy zapisać jako \(x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$x-\frac{1}{2x+1}=0 \quad\bigg/\cdot(2x+1)$$
$$x\cdot(2x+1)-1=0$$
$$2x^2+x-1=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy skorzystać z metody delty:
Współczynniki: \(a=2,\;b=1,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=1-(-8)=1+8=9$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Żadne z otrzymanych rozwiązań nie wyklucza się z dziedziną, zatem to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=-1\) oraz \(x=\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 7 · Matura 2018
Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)
Ama trzy rozwiązania: \(x=-2, x=0, x=2\)
Bma dwa rozwiązania: \(x=0, x=-2\)
Cma dwa rozwiązania: \(x=-2, x=2\)
Dma jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Sprawdźmy zatem kiedy mianownik będzie równy zero, rozwiązując następujące równanie:
$$x^2-4=0$$
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
To oznacza, że do naszego równania musimy wprowadzić założenie, że \(x\neq2\) oraz \(x\neq-2\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-4)$$
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania naszego równania, ale jedno z tych rozwiązań (a konkretnie \(x=-2\)) wyklucza się z naszymi założeniami z pierwszego kroku. To oznacza, że całe równanie ma tylko jedno dobre rozwiązanie i jest to \(x=0\).
Zadanie nr 8 · Matura 2017
Rozwiązaniem równania \(\frac{x+1}{x+2}=3\), gdzie \(x\neq-2\), jest liczba należąca do przedziału:
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x+2\neq0$$
$$x\neq-2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mnożąc obydwie strony tego równania przez \(x+2\) otrzymamy:
$$\frac{8-2x^2}{x+2}=x+2 \quad\bigg/\cdot(x+2)$$
$$8-2x^2=(x+2)\cdot(x+2)$$
$$8-2x^2=x^2+4x+4$$
$$-3x^2-4x+4=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem aby je rozwiązać musimy obliczyć deltę:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-4,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-3)\cdot4=16-(-48)=16+48=64$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
To jeszcze nie jest koniec zadania. Musimy zweryfikować nasze wyniki. W założeniach zapisaliśmy sobie, że \(x\) nie może być równy \(-2\), a to oznacza, że rozwiązanie \(x=-2\) musimy wykluczyć. To oznacza, że nasze równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(\frac{2}{3}\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Stąd też:
$$x(x+3)\neq0$$
$$x\neq0 \quad\lor\quad x\neq-3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Na początek musimy wymnożyć obie strony równania przez \(x(x+3)\), pozbywając się w ten sposób mianownika:
$$\frac{-3(9-x^2)(x+3)}{x(x+3)}=0 \quad\bigg/\cdot x(x+3)$$
$$-3(9-x^2)(x+3)=0 \quad\bigg/:-3$$
$$(9-x^2)(x+3)=0$$
Otrzymaliśmy postać iloczynową, zatem aby wartość równania była równa zero, to któryś z nawiasów musi nam tę równość wyzerować. W związku z tym:
$$9-x^2=0 \quad\lor\quad x+3=0$$
$$x^2=9 \quad\lor\quad x=-3$$
$$x=3 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymaliśmy dwa możliwe rozwiązania: \(x=3\) oraz \(x=-3\). Jednak z założeń wynika, że \(x\neq-3\) i dlatego też to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić. To oznacza, że to równanie ma tylko jedno rozwiązanie i jest nim \(x=3\).
Zadanie nr 8 · Matura 2016
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-7}{x}=5\), gdzie \(x\neq0\), jest liczba należąca do przedziału:
Otrzymany wynik mieści się jedynie w przedziale z drugiej odpowiedzi.
Zadanie nr 9 · Matura 2016
Równanie wymierne \(\frac{3x-1}{x+5}=3\), gdzie \(x\neq-5\):
Anie ma rozwiązań rzeczywistych
Bma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste
Cma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste
Dma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste
Aby sprawdzić ile rozwiązań ma dane równanie spróbujmy je rozwiązać tradycyjnymi metodami:
$$\frac{3x-1}{x+5}=3 \quad\bigg/\cdot(x+5)$$
$$3x-1=3\cdot(x+5)$$
$$3x-1=3x+15$$
$$-1=15$$
Otrzymaliśmy sprzeczność, a to oznacza, że to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Zadanie nr 5 · Matura 2015
Dla \(x\neq0\) równanie \(\frac{-2(x-3)}{x}=x-2\)
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dwa różne rozwiązania
Dma trzy różne rozwiązania
Najprościej jest to równanie rozwiązać zaczynając od pomnożenia obu stron przez \(x\):
$$\frac{-2(x-3)}{x}=x-2 \quad\bigg/\cdot x$$
$$-2(x-3)=(x-2)\cdot x$$
$$-2x+6=x^2-2x$$
$$x^2=6$$
$$x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6}$$
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania, obydwa nie wykluczają się z założeniem \(x\neq0\), stąd też równanie ma dwa różne rozwiązania.
Zadanie nr 7 · Matura 2015
Równanie \(\frac{x-1}{x+1}=x-1\):
Ama dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=1\)
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Cma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=-1\)
Dma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0, x=1\)
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Musimy zapisać założenia wynikające z tego, że mianownik nie może być równy \(0\) (bo nie można dzielić przez \(0\)). Zatem \(x\neq-1\). To wbrew pozorom ważny krok, bo choć akurat w przypadku tego zadania nie wpłynie on na wynik, to czasem może on wpłynąć na ostateczny wynik.
To oznacza, że równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=1\).
Zadanie nr 7 · Matura 2015
Rozwiązaniem równania \(\frac{2x-4}{3-x}=\frac{4}{3}\) jest liczba:
A\(x=0\)
B\(x=\frac{12}{5}\)
C\(x=2\)
D\(x=\frac{25}{11}\)
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego iż w mianowniku nie może znaleźć się liczba zero, to musimy napisać założenia do naszego równania:
$$3-x\neq0$$
$$x\neq3$$
Gdyby wśród obliczonych rozwiązań tego równania pojawiła się liczba \(3\), to zgodnie z założeniami musielibyśmy ją odrzucić.
Krok 2. Rozwiązanie równania.
To równanie najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż, dzięki czemu otrzymamy:
$$(2x-4)\cdot3=(3-x)\cdot4$$
$$6x-12=12-4x$$
$$10x-12=12$$
$$10x=24$$
$$x=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$$
Zadanie nr 6 · Matura 2014
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-5}{7-x}=\frac{1}{3}\) jest liczba:
A\(-11\)
B\(\frac{11}{2}\)
C\(\frac{2}{11}\)
D\(11\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość w mianowniku nie może być równa zero. Stąd też:
$$7-x\neq0$$
$$x\neq7$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Najprościej będzie chyba tutaj zastosować tzw. "mnożenie na krzyż":
$$(x-5)\cdot3=1\cdot(7-x)$$
$$3x-15=7-x$$
$$4x=22$$
$$x=\frac{22}{4}=\frac{11}{2}$$
Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, więc \(x=\frac{11}{2}\).
Zadanie nr 26 · Próbny 2014
Uzasadnij, że żadna liczba całkowita nie jest rozwiązaniem równania \(\frac{2x+4}{x-2}=2x+1\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim przystąpimy do obliczeń musimy sobie zapisać założenia do tego równania, które wynikają z tego, że mianownik ułamka nie może być równy zero. Zatem:
$$x-2\neq0$$
$$x\neq2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Możemy już przystąpić do obliczeń. Najprościej będzie zacząć obliczenia od wymnożenia obu stron przez wartość \((x-2)\), pozbywając się w ten sposób ułamka:
$$\frac{2x+4}{x-2}=2x+1 \quad\bigg/\cdot (x-2)$$
$$2x+4=(2x+1)\cdot(x-2)$$
$$2x+4=2x^2-4x+x-2$$
$$2x+4=2x^2-3x-2$$
$$-2x^2+5x+6=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
To równanie możemy rozwiązać za pomocą metody delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot6=25-(-48)=25+48=73$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{73}$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Obydwa rozwiązania tego równania są jak najbardziej poprawne (nie wykluczają się z naszymi założeniami z pierwszego kroku). Naszym zadaniem jest jednak udowodnić, że to równanie nie ma żadnych CAŁKOWITYCH rozwiązań i rzeczywiście tak jest, bo obydwie otrzymane liczby nie są całkowite. To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za zakończone.
Zadanie nr 11 · Próbny 2013
Liczba różnych rozwiązań równania \(\frac{(x+3)(x^2-4)}{x^2+2x}=0\) wynosi:
A\(5\)
B\(4\)
C\(3\)
D\(2\)
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość \(x^2+2x\) musi być różna od zera. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+2x=0\) i wykluczyć te argumenty z naszego rozwiązania równania.
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-2$$
Mamy wygodną postać iloczynową, zatem możemy przyrównać wartość każdego nawiasu do zera:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x^2-4=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x^2=4$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 3. Zapisanie rozwiązań równania.
Musimy teraz zweryfikować nasze rozwiązania i sprawdzić czy jakieś rozwiązanie nie wyklucza się z naszymi założeniami z kroku pierwszego. Okazuje się, że jedno rozwiązanie (\(x=-2\)) musimy wykluczyć ze względu właśnie na założenia, dlatego równanie ma tylko dwa rozwiązania: \(x=-3\) oraz \(x=2\).
Zadanie nr 11 · Matura 2012
Równanie \(\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0\) ma:
Adokładnie jedno rozwiązanie
Bdokładnie dwa rozwiązania
Cdokładnie trzy rozwiązania
Ddokładnie cztery rozwiązania
Tego typu równanie wymierne może być równe \(0\) tylko i wyłącznie wtedy, kiedy licznik jest równy \(0\). Jednak równie ważną informacją jest to, że sam mianownik nie może być równy zero, bo w matematyce dzielenie przez \(0\) nie istnieje.
Krok 1. Wypisanie założeń.
W związku z tym, że mianownik musi być równy od zera, to:
$$x-3\neq0 \quad\land\quad x+2\neq0$$
$$x\neq3 \quad\land\quad x\neq-2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku, licznik musi być różny od zera, czyli:
$$(x+3)(x-2)=0$$
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-2=0$$
$$x=-3 \quad\lor\quad x=2$$
Otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami zapisanymi w pierwszym kroku, tak więc równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zadanie nr 7 · Próbny 2012
Równanie \(\frac{x^2+36}{x-6}=0\):
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie trzy rozwiązania
Krok 1. Zapisanie odpowiednich założeń do zadania.
Wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo dzielenie przez zero w matematyce nie występuje. Stąd też pierwszym krokiem jaki należy uczynić jest zapisanie założenia, że \(x-6\neq0\), czyli \(x\neq6\).
Zapisanie założeń jest ważne, bo czasem zachodzi konieczność odrzucenia jakiegoś rozwiązania ze względu na to założenie.
Krok 2. Sprawdzenie dla jakich liczb wartość licznika jest równa \(0\).
Aby wynik działania był równy \(0\) to wartość licznika musi być równa \(0\) (i jest to jedyna możliwość, bo wartość mianownika na pewno musi być różna od zera). Stąd też:
$$x^2+36=0$$
$$x^2=-36$$
Niestety nie istnieje jakakolwiek liczba, która byłaby rozwiązaniem tego równania, bo nie ma takiej liczby rzeczywistej, która podniesiona do kwadratu da nam ujemny wynik. To oznacza, że równanie nie ma rozwiązań.
Zadanie nr 5 · Próbny 2011
Rozwiązaniem równania \(-2=\frac{x-1}{x+2}\) jest liczba:
A\(-1\)
B\(1\)
C\(0\)
D\(\frac{5}{3}\)
Krok 1. Wprowadzenie założeń do zadania.
W mianowniku nie możemy mieć wartości równej zero, dlatego że w matematyce nie istnieje mnożenie przez zero. W związku z tym musimy zapisać założenie, że:
$$x+2\neq0$$
$$x\neq-2$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz bez przeszkód możemy przejść do obliczeń, a całość najprościej będzie po prostu wymnożyć przez \(x+2\).
$$-2=\frac{x-1}{x+2} \quad\bigg/\cdot(x+2)$$
$$-2\cdot(x+2)=x-1$$
$$-2x-4=x-1$$
$$-3x=3$$
$$x=-1$$
Zadanie nr 7 · Matura 2011
Równanie \(\frac{x^2+25}{x-5}=0\)
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie trzy rozwiązania
Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Musimy uwzględnić fakt, że mianownik naszego równania jest różny od zera, bo w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. W związku z tym:
$$x-5\neq0$$
$$x\neq5$$
W tym zadaniu jak się za chwilę okaże ten krok nie jest niezbędny, ale dobrze jest zawsze pamiętać o założeniach do równań wymiernych (czyli takich z iksem w mianowniku), bo czasem założenia mogą nam wykluczyć niektóre rozwiązania.
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie musimy wymnożyć obie strony przez wartość znajdującą się w mianowniku. Tutaj sytuacja jest o tyle prosta, że po prawej stronie mamy zero, co pozwoli nam bardzo szybko uprościć cały zapis:
$$\frac{x^2+25}{x-5}=0 \quad\bigg/\cdot(x-5)$$
$$x^2+25=0$$
$$x^2=-25$$
Otrzymaliśmy równanie, które nie ma rozwiązań, bowiem nie istnieje żadna liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny. W związku z tym nie istnieje jakakolwiek liczba, która po podstawieniu do tego równania dałaby wynik równy \(0\).
Zadanie nr 8 · Matura 2010
Równanie \(\frac{x^2-4}{(x-4)(x+4)}=0\)
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie
Cma dokładnie dwa rozwiązania
Dma dokładnie cztery rozwiązania
Krok 1. Wypisanie założeń do równania.
To dość ważny krok, bo może się zdarzyć sytuacja, w której niektóre rozwiązania będziemy musieli odrzucić ze względu na założenia. W tym przypadku konieczność wprowadzenia założeń wynika z tego, że wartość w mianowniku nie może być równa zero, bo w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero. Zatem:
$$(x-4)(x+4)\neq0$$
$$x-4\neq0 \quad\land\quad x+4\neq0$$
$$x\neq4 \quad\land\quad x\neq-4$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
W tego typu równaniach wymiernych aby wartość ich była równa zero to licznik musi być równy zero, zatem:
$$x^2-4=0$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniami, tak więc to równanie ma dokładnie dwa rozwiązania.
Zadanie nr 8 · Próbny 2010
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-6}{2x-4}=\frac{2}{3}\) jest liczba:
A\(8\)
B\(10\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(-10\)
To równanie najprościej będzie rozwiązać metodą mnożenia na krzyż:
$$\frac{x-6}{2x-4}=\frac{2}{3}$$
$$3\cdot(x-6)=2\cdot(2x-4)$$
$$3x-18=4x-8$$
$$-x=10$$
$$x=-10$$
Krok 1. Zapisanie założeń do naszego równania.
Mianownik musi być różny od zera, więc:
$$7x+1\neq0$$
$$7x\neq-1$$
$$x\neq-\frac{1}{7}$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Najprościej będzie tu zastosować tzw. "mnożenie na krzyż".
$$(3x-1)\cdot5=2\cdot(7x+1)$$
$$15x-5=14x+2$$
$$x=7$$
Krok 3. Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązanie jest zgodne z naszymi założeniami.
\(x=7\) jest zgodne z naszym założeniem, więc jest to poprawne rozwiązanie.
Zadanie nr 10 · Próbny 2009
Rozwiązaniem równania \(\frac{x-5}{x+3}=\frac{2}{3}\) jest liczba:
A\(21\)
B\(7\)
C\(\frac{17}{3}\)
D\(0\)
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Wbrew pozorom jest to dość ważny punkt, bo może się okazać, że otrzymany wynik będziemy musieli odrzucić ze względu na założenia. W matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, dlatego wartość w mianowniku musi być różna od zera. Stąd też:
$$x+3\neq0$$
$$x\neq-3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Samo równanie najprościej jest rozwiązać mnożąc poszczególne wyrazy na krzyż:
$$(x-5)\cdot3=(x+3)\cdot2$$
$$3x-15=2x+6$$
$$3x-2x=6+15$$
$$x=21$$
Zadanie nr 18 · Matura
Równanie \(\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych:
Anie ma rozwiązań
Bma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Cma dokładnie dwa rozwiązania: \(x=0\), \(x=-3\)
Dma dokładnie cztery rozwiązania: \(x=0\), \(x=2\), \(x=3\), \(x=-3\)
Krok 1. Zapisanie założeń do treści zadania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość z mianownika musi być różna od zera. To sprawia, że musimy do treści zadania wprowadzić pewne założenia:
$$x-2\neq0 \quad\lor\quad (x-3)^2\neq0$$
$$x\neq2 \quad\lor\quad x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Mając zapisane założenia, możemy przystąpić do rozwiązywania. Najprościej będzie wymnożyć obydwie strony przez wartość z mianownika, zatem:
$$\dfrac{(3x^2-6x)(x^2-9)}{(x-2)(x-3)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(x-2)(x-3)^2$$
$$(3x^2-6x)(x^2-9)=0$$
$$3x^2-6x=0 \quad\lor\quad x^2-9=0$$
$$x(3x-6)=0 \quad\lor\quad x^2=9$$
$$x=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
$$x=0 \quad\lor\quad 3x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z zapisanymi założeniami. Zgodnie z nimi musimy odrzucić rozwiązania \(x=2\) oraz \(x=3\), stąd też zostają nam jedynie dwa rozwiązania, czyli \(x=0\) oraz \(x=-3\).
📘Teoria 2
Równania wymierne
Czym jest równanie wymierne
To równanie, w którym niewiadoma występuje w mianowniku. Przez to pojawia się ograniczenie dziedziny, którego nie wolno pominąć.
Schemat rozwiązywania
Wyznacz dziedzinę — przyrównaj każdy mianownik do zera i wyklucz te wartości
sprowadź obie strony do wspólnego mianownika albo pomnóż równanie przez mianowniki
rozwiąż powstałe równanie wielomianowe
Skonfrontuj wyniki z dziedziną i odrzuć te, które do niej nie należą
Krok pierwszy i czwarty są równie ważne jak sam rachunek.
Kiedy ułamek jest zerem
$$\frac{W(x)}{M(x)}=0 \iff W(x)=0 \ \text{ oraz } \ M(x)\neq0$$
O zerowaniu decyduje wyłącznie licznik — mianownik odpowiada tylko za dziedzinę.
Wynik $4$ należy do dziedziny, więc jest rozwiązaniem.
Przykład z odrzuceniem
Równanie $\frac{x+3}{x-2}=1$ prowadzi do $x+3=x-2$, czyli $3=-2$ — sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań.
Działania na wyrażeniach wymiernych
skracanie — tylko przez wspólny czynnik licznika i mianownika, nigdy przez składnik
dodawanie i odejmowanie — sprowadzamy do wspólnego mianownika
mnożenie — licznik przez licznik, mianownik przez mianownik
dzielenie — mnożymy przez odwrotność
Funkcja homograficzna
Wykresem $f(x)=\frac{a}{x}$ jest hiperbola z asymptotami $x=0$ i $y=0$. Postać $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$ przesuwa ją o wektor $[p,\,q]$, a asymptoty stają się $x=p$ i $y=q$.
Na co uważać
Mnożenie równania przez wyrażenie z niewiadomą może wprowadzić rozwiązania obce — dlatego końcowe sprawdzenie dziedziny jest obowiązkowe. Po skróceniu wyrażenia założenia nadal obowiązują: $\frac{x^2-4}{x+2}=x-2$, ale wyłącznie dla $x\neq-2$.
Równania i nierówności wymierne
Pierwszy krok: dziedzina
W wyrażeniu wymiernym mianownik nie może być zerem. Dziedzinę wyznaczamy zawsze przed rozwiązaniem i na końcu sprawdzamy, czy wynik do niej należy.
O zerowaniu decyduje licznik; mianownik musi być tylko różny od zera.
Rozwiązywanie równań
Mnożymy obie strony przez mianownik (lub przez wspólny mianownik), rozwiązujemy i odrzucamy pierwiastki spoza dziedziny. Alternatywnie mnożymy „na krzyż”.
Nierówności — uwaga na znak
Nie wolno mnożyć nierówności przez mianownik o zmiennym znaku — nie wiadomo, czy odwrócić znak. Zamiast tego:
$$\frac{L}{M}>0 \iff L\cdot M>0$$
Iloraz i iloczyn mają ten sam znak, więc badamy znak iloczynu w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe licznika i mianownika.
Krańce przedziałów
Przy nierówności nieostrej pierwiastek licznika domykamy (ułamek równy zeru jest dozwolony), ale pierwiastek mianownika zawsze wykluczamy — to punkt spoza dziedziny.
Zadania o wspólnej pracy
Dodajemy wydajności (odwrotności czasów). Gdy jedna ekipa robi coś w $6$ dni, druga w $12$, to $\frac x6+\frac x{12}=1$ daje $x=4$ dni wspólnej pracy.
Na co uważać
Najczęstszy błąd to pominięcie dziedziny i przyjęcie pierwiastka „obcego”, który zeruje mianownik.
Krok 3 — analiza znaków w przedziałach. Ułamek ma znak iloczynu $(x-3)(x+1)$, bo dzielenie i mnożenie dają ten sam wzór znaków:
$x\lt -1$: $(-)(-)=+$ ✔
$-1\lt x\lt 3$: $(-)(+)=-$
$x>3$: $(+)(+)=+$ ✔
Krok 4 — zbiór rozwiązań:
$$x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$$
Kluczowa sztuczka. Nierówność $\frac{L}{M}>0$ ma to samo rozwiązanie co $L\cdot M>0$ — zamieniamy dzielenie na mnożenie, bo obie operacje dają ten sam znak.
Odpowiedź: $x\in(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$.
Zadanie nr 11
Rozwiązując nierówność wymierną, mnożymy obustronnie przez mianownik:
Azawsze zachowując znak
Btylko przez wyrażenie o znanym znaku
Czawsze odwracając znak
Dto niedozwolone
Mnożenie nierówności przez wyrażenie zmiennego znaku jest niebezpieczne — nie wiadomo, czy odwrócić znak nierówności.
Dlatego nierówności wymierne rozwiązujemy inaczej: przenosimy wszystko na jedną stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika i badamy znak ilorazu (równoważnie iloczynu licznika i mianownika).
Wyjątek: gdy mianownik ma stały znak (np. $x^2+1>0$ zawsze), można mnożyć bezpiecznie.
Odpowiedź: B. tylko przez wyrażenie o znanym znaku.
Zadanie nr 12
Rozwiąż równanie $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x+1}$.
Krok 1 — dziedzina: $x\neq1$ oraz $x\neq-1$.
Krok 2 — mnożymy na krzyż:
$$1\cdot(x+1)=2\cdot(x-1)$$
Krok 3 — rozwiązujemy:
$$x+1=2x-2 \quad\Rightarrow\quad 3=x$$
Krok 4 — sprawdzamy dziedzinę: $3\neq\pm1$ ✔
Sprawdzenie: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ ✔
Odpowiedź: $x=3$.
Zadanie nr 13
Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-3}$.
Krok 4 — uwzględniamy równość. Nierówność jest nieostra ($\le$), więc dołączamy miejsce zerowe licznika $x=-2$. Ale $x=1$ wykluczamy — tam mianownik się zeruje.
$$x\in\langle-2,\ 1)$$
Kluczowa różnica. Pierwiastek licznika może być domknięty (ułamek równy zeru jest dozwolony przy $\le$), ale pierwiastek mianownika nigdy — to punkt spoza dziedziny.
Odpowiedź: $x\in\langle-2,\ 1)$.
Zadanie nr 19
Dwie ekipy malują halę. Pierwsza sama zrobiłaby to w $6$ dni, druga w $12$ dni. W ile dni pomalują halę razem?
Krok 1 — wydajności. W ciągu jednego dnia pierwsza ekipa wykonuje $\frac16$ pracy, druga $\frac{1}{12}$.
Krok 2 — równanie. Niech $x$ to liczba dni wspólnej pracy. Razem wykonają całość, czyli $1$:
Kontrola sensu. Wspólny czas ($4$ dni) musi być krótszy od czasu szybszej ekipy ($6$ dni) — i jest ✔
Typ zadania. To klasyczne „zadanie o wspólnej pracy” — dodajemy wydajności (odwrotności czasów), a nie same czasy.
Odpowiedź: $4$ dni.
Zadanie nr 20
Wykaż, że równanie $\dfrac{x^2+1}{x}=1$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Krok 1 — dziedzina: $x\neq0$.
Krok 2 — mnożymy przez $x$:
$$x^2+1=x$$
Krok 3 — przenosimy wszystko na jedną stronę:
$$x^2-x+1=0$$
Krok 4 — badamy wyróżnik:
$$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3\lt 0$$
Krok 5 — wniosek. Ujemny wyróżnik oznacza brak pierwiastków rzeczywistych, więc równanie nie ma rozwiązań. $\qquad ∎$
Sposób alternatywny. Uzupełniając do kwadratu: $x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34>0$ — wyrażenie nigdy się nie zeruje. Ten sposób pokazuje dodatkowo, że lewa strona jest zawsze dodatnia.
Zadanie nr 1
Wyrażenie $\frac{1}{x-3}$ jest określone dla:
A$x=3$
B$x\neq3$
Cwszystkich $x$
D$x>3$
Mianownik nie może być zerem: $x-3\neq0$, więc $x\neq3$.
Wykaż, że dla $x\neq0$ wyrażenie $\frac{x^2+x}{x}-x$ jest stałe, i podaj jego wartość.
Krok 1 — upraszczamy ułamek (wyłączamy $x$ w liczniku):
$$\frac{x^2+x}{x}=\frac{x(x+1)}{x}=x+1$$
Krok 2 — odejmujemy $x$:
$$(x+1)-x=1$$
Krok 3 — wniosek. Wynik nie zależy od $x$ — jest równy $1$ dla każdego $x\neq0$. $\quad∎$
Sprawdzenie dla $x=4$: $\frac{20}{4}-4=5-4=1$ ✔
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.