Klasa 3 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
$m$ — liczba kapitalizacji w roku, $n$ — liczba lat.
Przykład: 2000 zł, 6% rocznie, kapitalizacja kwartalna, 2 lata: $2000\cdot1{,}015^{8}\approx2252{,}99$ zł.
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
$$a_n=a_1+(n-1)r \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$a_n=a_1\cdot q^{\,n-1} \qquad\text{(geometryczny)}$$
W obu wzorach występuje $n-1$, a nie $n$ — od pierwszego do $n$-tego wyrazu wykonujemy $n-1$ kroków.
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \qquad\text{(arytmetyczny)}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{q^{\,n}-1}{q-1} \qquad\text{(geometryczny, } q\neq1)$$
Pierwszy wzór to po prostu liczba wyrazów razy ich średnia — parujemy pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim, a każda para daje tę samą sumę.
$$b=\frac{a+c}{2} \ \text{(arytm.)},\qquad b=\sqrt{ac} \ \text{(geom., dodatnie)}$$
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Wkład $1000$ zł oprocentowany jest na $5\%$ rocznie (kapitalizacja roczna). Ile będzie na koncie po dwóch latach?
Lokata $2000$ zł na $10\%$ rocznie z kapitalizacją roczną. Ile wynosi kapitał po trzech latach?
Po ilu latach kapitał $1000$ zł na $20\%$ rocznie przekroczy $2000$ zł przy kapitalizacji rocznej?
Suma szeregu $1+\frac13+\frac19+\dots$ wynosi:
Wartość samochodu spada co roku o $15\%$. Ile będzie wart po trzech latach samochód kupiony za $60\ 000$ zł?
Bank oferuje $12\%$ rocznie z kapitalizacją kwartalną. Ile wyniesie kapitał z $5000$ zł po roku? Porównaj z kapitalizacją roczną.
Piłka spuszczona z wysokości $2$ m odbija się za każdym razem na $60\%$ poprzedniej wysokości. Oblicz łączną drogę, jaką przebędzie do zatrzymania.
$15\%$ liczby $240$ jest równe
Cenę towaru równą $80$ zł podwyższono o $25\%$. Nowa cena jest równa
Po obniżce o $20\%$ kurtka kosztuje $96$ zł. Przed obniżką kurtka kosztowała
Cenę towaru podwyższono o $10\%$, a następnie nową cenę obniżono o $10\%$. W porównaniu z ceną początkową cena końcowa
Liczba $a$ jest o $25\%$ większa od liczby dodatniej $b$. Wynika stąd, że liczba $b$ jest mniejsza od liczby $a$ o
Oprocentowanie kredytu wzrosło z $5\%$ do $7\%$. Oznacza to, że oprocentowanie wzrosło o
Na lokatę dwuletnią z oprocentowaniem $4\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek wpłacono $5000$ zł. Po dwóch latach (bez podatku) na lokacie będzie
Kurtka kosztowała $400$ zł. Oceń prawdziwość stwierdzeń.
Oceń prawdziwość każdego stwierdzenia (P — prawda, F — fałsz) i wybierz odpowiedni układ.
Kwotę $2000$ zł złożono na lokatę na $3$ lata z oprocentowaniem $5\%$ w skali roku i roczną kapitalizacją odsetek. Oblicz kwotę na lokacie po $3$ latach (pomiń podatek).
Cenę roweru obniżono o $20\%$, a po miesiącu nową cenę podwyższono o $15\%$. Po tych zmianach rower kosztuje $1472$ zł. Oblicz cenę początkową roweru i ustal, o ile procent cena końcowa różni się od ceny początkowej.
$20\%$ liczby $150$ jest równe
$10\%$ liczby $80$ jest równe
Cena $100$ zł wzrosła o $20\%$. Nowa cena to
Kwotę $1000$ zł wpłacono na $10\%$ rocznie (procent składany). Po $2$ latach jest
Oblicz $25\%$ liczby $200$.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Klient wpłacił do banku $10\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie bank dolicza odsetki $6\%$ od kwoty bieżącego kapitału (procent składany). Po dwóch latach łączna wartość doliczonych odsetek (bez podatków) jest równa
Pani Aniela wpłaciła $60\,000$ zł na lokatę dwuletnią. Po każdym roku bank doliczał odsetki w wysokości $p\%$ w skali roku (procent składany). Po dwóch latach na lokacie było $67\,925,76$ zł. Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe
Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości \(K_0\) zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(6\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym roku bank doliczał odsetki w wysokości $5\%$ od kwoty bieżącego kapitału. Po dwóch latach pan Grzegorz odebrał $4851$ zł (bez podatków). Kwota wpłacona na lokatę była równa
Klient wpłacił do banku \(30\,000\) zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości \(7\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa
Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o 10%, a drugi raz o 5%. Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje 4,62 zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi podwyżkami.
Wysokość prowizji, którą klient płaci w pewnym biurze maklerskim przy każdej zawieranej transakcji kupna lub sprzedaży akcji jest uzależniona od wartości transakcji:
| Wartość transakcji | Wysokość prowizji |
|---|---|
| do 500 zł | 15 zł |
| od 500,01 zł do 3000 zł | 2% wartości transakcji + 5 zł |
| od 3000,01 zł do 8000 zł | 1,5% wartości transakcji + 20 zł |
| od 8000,01 zł do 15000 zł | 1% wartości transakcji + 60 zł |
| powyżej 15000 zł | 0,7% wartości transakcji + 105 zł |
Klient zakupił za pośrednictwem tego biura maklerskiego 530 akcji w cenie 25 zł za jedną akcję. Po roku sprzedał wszystkie kupione akcje po 45 zł za jedną sztukę. Oblicz, ile zarobił na tych transakcjach po uwzględnieniu prowizji, które zapłacił.
Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonywane obliczenia.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.