Potęga o wykładniku wymiernym

1. Wyłączamy czynniki spod pierwiastków: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$, $\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2$.
2. $6\sqrt2-2\sqrt2=4\sqrt2$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to błąd $\sqrt{72}-\sqrt8=\sqrt{72-8}$ — pierwiastki odejmujemy dopiero po wyłączeniu wspólnego czynnika.

1. $\dfrac1{27}=3^{-3}$, więc $\left(3^{-3}\right)^{-\frac23}=3^{(-3)\cdot(-\frac23)}=3^{2}=9$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A i D — wykładnik ujemny nie zmienia znaku liczby; C — zgubiony minus w wykładniku (wyszłoby $3^{-2}$).

1. Sprowadzamy do podstawy $2$: $\dfrac1{16}=2^{-4}$, $8=2^3$.
2. $\left(2^{-4}\right)^5\cdot\left(2^3\right)^7=2^{-20}\cdot2^{21}=2^{1}=2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A — pominięty minus przy $2^{-20}$; B — odwrotna kolejność odejmowania wykładników.

1. Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek iloczynu: $\sqrt[3]{-\dfrac{54}{125}\cdot4}=\sqrt[3]{-\dfrac{216}{125}}$.
2. $216=6^3$, $125=5^3$, a pierwiastek 3. stopnia z liczby ujemnej istnieje: $\sqrt[3]{-\dfrac{216}{125}}=-\dfrac65$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — zgubiony znak; B — spierwiastkowany tylko licznik; C — pomylony stopień pierwiastka.

1. Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt3$: $\dfrac{6}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — pominięte dzielenie przez $3$ w mianowniku.

1. Pod pierwiastkiem: $5\cdot5^{\frac13}=5^{1+\frac13}=5^{\frac43}$.
2. $\sqrt{5^{\frac43}}=\left(5^{\frac43}\right)^{\frac12}=5^{\frac23}$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — zapomniany zewnętrzny pierwiastek; C — pomnożone wykładniki $\tfrac12\cdot\tfrac13$ zamiast dodania $1+\tfrac13$.

1. Wyłączamy najmniejszą potęgę: $2^{30}+2^{31}+2^{32}=2^{30}(1+2+4)=7\cdot2^{30}$.
2. $\dfrac{7\cdot2^{30}}{7\cdot2^{29}}=2^{30-29}=2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A/B — dodane wykładniki w liczniku ($30+31+32=93$, potem $93-29=64$) — to błąd sumy potęg.

1. 1. $900=2^2\cdot3^2\cdot5^2$. $6^{10}\cdot5^4=2^{10}\cdot3^{10}\cdot5^{4}$ zawiera $2^2$, $3^2$ i $5^2$ — liczba jest podzielna przez $900$ (P).
2. 2. $36^3=(2^2\cdot3^2)^3=2^6\cdot3^6$, a w liczbie $2^8\cdot3^5$ czynnik $3$ występuje tylko w potędze $5\lt 6$ — liczba nie jest podzielna przez $36^3$ (F).

Odpowiedź: P, F

1. Wyłączamy przed nawias najmniejszą potęgę: $3^{2026}+3^{2025}+3^{2024}=3^{2024}\left(3^2+3+1\right)$.
2. $3^2+3+1=13$, więc liczba jest równa $13\cdot3^{2024}$.
3. $3^{2024}$ jest liczbą całkowitą, zatem liczba jest iloczynem $13$ i liczby całkowitej — jest podzielna przez $13$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód

1. Sprowadzamy pierwiastki do wspólnego stopnia $6$: $a=3^{\frac13}=3^{\frac26}=\sqrt[6]{9}$, $b=2^{\frac12}=2^{\frac36}=\sqrt[6]{8}$, $c=\sqrt[6]{10}$.
2. Pierwiastek 6. stopnia jest funkcją rosnącą, więc wystarczy porównać liczby podpierwiastkowe: $8\lt 9\lt 10$.
3. Zatem $b\lt a\lt c$.

Odpowiedź: $b\lt a\lt c$

Wskazówka: Nie licz przybliżeń kalkulatorem — na maturze ważny jest argument: wspólny stopień pierwiastka.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność:

$$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac19$$

Uwaga: ujemny wykładnik nie daje wyniku ujemnego — daje ułamek.

Odpowiedź: B. $\frac19$.

Wykładnik wymierny $\frac{m}{n}$ oznacza pierwiastek stopnia $n$ podniesiony do potęgi $m$:

$$8^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4$$

Szybciej: $8=2^3$, więc $(2^3)^{\frac23}=2^2=4$.

Odpowiedź: $4$.

Szukamy wykładnika: do której potęgi podnieść $3$, aby otrzymać $81$?

$$3^4=81 \quad\Rightarrow\quad \log_3 81=4$$

Odpowiedź: $4$.

Wykładnik $\frac12$ to pierwiastek kwadratowy:

$$16^{\frac12}=\sqrt{16}=4$$

Pułapka: odpowiedź A ($8$) to wynik dzielenia $16:2$ — potęgowanie to inne działanie.

Odpowiedź: C. $4$.

Wykładnik $-1$ oznacza odwrotność ułamka:

$$\left(\frac23\right)^{-1}=\frac32$$

Odpowiedź: A. $\frac32$.

Każda liczba do potęgi zerowej daje $1$:

$$a^0=1 \quad\Rightarrow\quad \log_a 1=0$$

Warto też pamiętać: $\log_a a=1$.

Odpowiedź: D. $0$.

Pierwiastek nieparzystego stopnia istnieje także dla liczb ujemnych:

$$(-3)^3=-27 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{-27}=-3$$

Dla porównania: $\sqrt{-27}$ nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych, bo stopień jest parzysty.

Odpowiedź: B. $-3$.

Krok 1 — nawias (dodajemy wykładniki):

$$2^{3-5}=2^{-2}$$

Krok 2 — potęga potęgi (mnożymy wykładniki):

$$\left(2^{-2}\right)^2=2^{-4}=\frac{1}{16}$$

Odpowiedź: $\frac{1}{16}$.

Szukamy wykładnika dla podstawy $10$:

$$10^{-2}=\frac{1}{100}=0{,}01 \quad\Rightarrow\quad \log_{10} 0{,}01=-2$$

Reguła: logarytm liczby mniejszej od $1$ (przy podstawie $>1$) jest ujemny.

Odpowiedź: C. $-2$.

Wzór na logarytm potęgi — wykładnik wychodzi przed logarytm:

$$\log_a x^n=n\log_a x$$

Sprawdzenie dla $a=2$, $x=4$: $\log_2 64=6$ oraz $3\log_2 4=3\cdot2=6$ ✔

Odpowiedź: A. $3\log_a x$.

Mnożymy przez sprzężenie mianownika, czyli $\sqrt5+1$:

$$\frac{4}{\sqrt5-1}\cdot\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5+1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{(\sqrt5)^2-1^2}$$

Mianownik upraszcza się ze wzoru na różnicę kwadratów:

$$=\frac{4(\sqrt5+1)}{5-1}=\frac{4(\sqrt5+1)}{4}=\sqrt5+1$$

Odpowiedź: $\sqrt5+1\approx3{,}24$.

Krok 1 — ujemny wykładnik oznacza odwrotność podstawy:

$$\left(\frac14\right)^{-\frac12}=4^{\frac12}$$

Krok 2 — wykładnik $\frac12$ to pierwiastek kwadratowy:

$$4^{\frac12}=\sqrt4=2$$

Odpowiedź: $2$.

Krok 1 — dziedzina: $x>0$.

Krok 2 — przechodzimy na postać wykładniczą. Zapis $\log_2 x=5$ oznacza $x=2^5$:

$$x=32$$

Krok 3 — sprawdzamy dziedzinę: $32>0$ ✔

Odpowiedź: $x=32$.

Liczymy każdy składnik osobno.

Pierwiastek:

$$\sqrt{81}=9$$

Potęga wymierna (pierwiastek sześcienny):

$$27^{\frac13}=\sqrt[3]{27}=3$$

Logarytm:

$$\log_2 16=4 \quad (\text{bo } 2^4=16)$$

Składamy:

$$9+3-4=8$$

Odpowiedź: $8$.