Potęga o wykładniku rzeczywistym

Zapisujemy podstawy jako potęgi liczby \(5\):

\(25^{-2}=\left(5^2\right)^{-2}=5^{-4}\)

\(125^{-4}=\left(5^3\right)^{-4}=5^{-12}\)

Dzielimy potęgi o tej samej podstawie:

\(\frac{5^{-4}}{5^{-12}}=5^{-4-(-12)}=5^{8}\)

Odpowiedź: D.

Wyłączamy czynniki przed znak pierwiastka sześciennego:

\(\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}\)

\(\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot 3}=4\sqrt[3]{3}\)

Dodajemy wyrazy podobne:

\(2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}\)

Odpowiedź: C.

Zapisujemy obie liczby jako potęgi dwójki:

\(256=2^8\)

\(\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{\left(2^3\right)^2}=\sqrt[3]{2^6}=2^{\frac{6}{3}}=2^2\)

Mnożymy potęgi o tej samej podstawie:

\(2^8\cdot 2^2=2^{10}\)

Odpowiedź: B.

Ujemny wykładnik oznacza odwrotność podstawy:

\(\left(\frac{4}{25}\right)^{-0,5}=\left(\frac{25}{4}\right)^{0,5}\)

Wykładnik \(0{,}5=\frac{1}{2}\) oznacza pierwiastek kwadratowy:

\(\left(\frac{25}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2{,}5\)

Odpowiedź: C.

Zapisujemy \(32\) jako potęgę liczby \(2\):

\(32=2^5\)

\(32^{\frac{3}{5}}=\left(2^5\right)^{\frac{3}{5}}=2^{5\cdot\frac{3}{5}}=2^3=8\)

Podstawiamy:

\(2^{-1}\cdot 8=\frac{1}{2}\cdot 8=4\)

Odpowiedź: D.

Wyłączamy czynniki spod pierwiastków:

\(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}\)

\(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}\)

Podstawiamy i redukujemy:

\(3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot 3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=9\sqrt{5}-2\sqrt{5}=7\sqrt{5}\)

Zapisujemy pierwiastek jako potęgę:

\(7\sqrt{5}=7\cdot 5^{\frac{1}{2}}\)

Odpowiedź: D.

Obliczamy kolejno wartości potęg.

\(3^{-1}=\frac{1}{3}\)

\(\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}=\frac{1}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{2}}=\frac{1}{\frac{1}{81}}=81\)

Podstawiamy do wyrażenia:

\(\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot 81=\frac{1}{3}\)

Odpowiedź: A.

Zapisujemy pierwiastki jako potęgi o wykładnikach wymiernych:

\(\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}\)

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki:

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} = \frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1\)

Zatem iloczyn jest równy \(x^1 = x\).

Odpowiedź: A.

Sprowadzamy wszystkie liczby do potęg o podstawie 3:

\(243^{11}=\left(3^5\right)^{11}=3^{55}\),

\(81^{14}=\left(3^4\right)^{14}=3^{56}\),

\(9^{27}=\left(3^2\right)^{27}=3^{54}\).

Podstawiamy \(x=3^{54}\) do lewej strony równania:

\(L=3^{55}-3^{56}+7\cdot3^{54}\).

Wyłączamy \(3^{54}\) przed nawias:

\(L=3^{54}\left(3-9+7\right)=3^{54}\cdot1=3^{54}\).

Prawa strona równania wynosi \(P=9^{27}=3^{54}\), zatem \(L=P\).

Liczba \(3^{54}\) jest więc rozwiązaniem tego równania. \(\blacksquare\)

a) Dwa wielomiany są równe, gdy mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach:

przy \(x^2\): \(a=2a+3\), skąd \(a=-3\),

przy \(x^0\): \(b=-1\),

przy \(x^1\): \(-4=a+b+c\), czyli \(-4=-3-1+c\), skąd \(c=0\).

Odpowiedź: \(a=-3\), \(b=-1\), \(c=0\).

b) Dla \(a=3\) i \(b=0\) mamy \(W(x)=x^3+3x^2-4x\). Wyłączamy \(x\) przed nawias:

\(W(x)=x\left(x^2+3x-4\right)\).

Trójmian \(x^2+3x-4\) ma \(\Delta=9+16=25\), a jego pierwiastki to \(-4\) i \(1\), więc

\(W(x)=x(x+4)(x-1)\).

Sprowadzamy wszystkie potęgi do podstawy 2:

\(4^{23}=\left(2^2\right)^{23}=2^{46}\), \(\ 32^{9}=\left(2^5\right)^{9}=2^{45}\),

\(16^{4}=\left(2^4\right)^{4}=2^{16}\), \(\ \left(4^{4}\right)^{4}=4^{16}=\left(2^2\right)^{16}=2^{32}\).

Równanie przyjmuje postać:

\(2^{46}x-2^{45}x=2^{16}\cdot2^{32}=2^{48}\).

Wyłączamy \(2^{45}\) przed nawias:

\(2^{45}(2-1)x=2^{48}\), czyli \(2^{45}x=2^{48}\).

Stąd

\(x=\dfrac{2^{48}}{2^{45}}=2^{3}=8\).

a) Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez \(2\sqrt3-1\):

mianownik: \((1+2\sqrt3)(2\sqrt3-1)=2\sqrt3-1+12-2\sqrt3=11\),

licznik: \((3\sqrt3-4)(2\sqrt3-1)=18-3\sqrt3-8\sqrt3+4=22-11\sqrt3\).

Stąd

\(a=\dfrac{22-11\sqrt3}{11}=2-\sqrt3\), czyli \(x=2\), \(y=-1\).

b) Zapisujemy wszystko jako potęgi liczby 3:

\(\sqrt{27}=3^{\frac32}\), \(\ \left(\tfrac19\right)^3=\left(3^{-2}\right)^3=3^{-6}\), \(\ \dfrac{1}{3^{-5}}=3^{5}\).

Zatem

\(b=3^{\frac32}\cdot3^{-6}\cdot3^{5}=3^{\frac32-6+5}=3^{\frac12}=3^{0{,}5}\).

c) \(a+b=2-\sqrt3+\sqrt3=2\).

Z warunku \(0{,}8c=2\) otrzymujemy \(c=\dfrac{2}{0{,}8}=2{,}5\).