Klasa 3 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{32\cdot(-1)^n}{2^{n-1}}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Szósty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.
2. Wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są liczbami parzystymi.
Trzywyrazowy ciąg \((2m-5,\;4,\;9)\) jest arytmetyczny.
Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Ten ciąg jest A. rosnący / B. malejący oraz 1. \(m=-1\) / 2. \(m=2\) / 3. \(m=3\).
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2\cdot(-1)^{n+1}+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge 1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
1. Ciąg \((a_n)\) jest malejący.
2. Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) dla \(n\ge1\), w którym \(a_7=1\), \(a_{11}=9\).
a) Oblicz pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\) ciągu \((a_n)\).
b) Sprawdź, czy ciąg \((a_7,a_8,a_{11})\) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie \(n\), aby suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) miała wartość najmniejszą.
Nieskończony ciąg liczbowy \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=2-\dfrac{1}{n}\), \(n=1,2,3,\ldots\)
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu \((a_n)\) jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby \(x\) trzywyrazowy ciąg \((a_2,a_7,x)\) jest arytmetyczny. Oblicz \(x\).
Dany jest rosnący ciąg geometryczny \((a_n)\) dla \(n\ge1\), w którym \(a_1=x\), \(a_2=14\), \(a_3=y\). Oblicz \(x\) oraz \(y\), jeżeli wiadomo, że \(x+y=35\).
Dany jest rosnący ciąg geometryczny, w którym \(a_1=12\), \(a_3=27\).
a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz \(a_n\), dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
c) Oblicz wyraz \(a_6\).
Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.
Ciąg jest rosnący, gdy $a_{n+1}>a_n$ dla każdego $n$, i malejący, gdy $a_{n+1}\lt a_n$.
Wyznaczamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ lub ilorazu $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (dla wyrazów dodatnich).
$a_n=2n-1$ jest rosnący, bo $a_{n+1}-a_n=2>0$.
Gdy $a_{n+1}=a_n$ dla każdego $n$.
Badamy znak $a_{n+1}-a_n$: dodatni — rosnący, ujemny — malejący.
Dla wyrazów dodatnich porównujemy $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ z $1$.
Ciąg jest ograniczony, gdy istnieją stałe $m\le a_n\le M$.
Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Zadania ćwiczeniowe ze zbiorów Matematix — z rozwiązaniami krok po kroku.
Dany jest ciąg $a_n=3n-1$. Ile wynosi $a_4$?
Wypisz pięć pierwszych wyrazów ciągu $a_n=n^2$.
Ciąg $a_n=5-2n$ jest:
Dany jest ciąg $a_n=\frac{n}{n+1}$. Oblicz $a_1$, $a_2$ i $a_3$.
Który wzór opisuje ciąg $2$, $4$, $6$, $8$, $\dots$?
Zbadaj monotoniczność ciągu $a_n=n^2-4n$.
Ciąg dany jest rekurencyjnie: $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+1$. Oblicz pięć pierwszych wyrazów.
Ciąg $a_n=(-1)^n$ jest:
Który wyraz ciągu $a_n=4n-7$ jest równy $25$?
Ciąg jest rosnący, gdy dla każdego $n$ zachodzi:
Wykaż, że ciąg $a_n=\frac{2n+1}{n}$ jest malejący.
Ciąg Fibonacciego określony jest tak: $a_1=1$, $a_2=1$, $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$. Wypisz osiem pierwszych wyrazów.
Ile wyrazów ciągu $a_n=2n-1$ jest mniejszych od $20$?
Ciąg dany jest wzorem $a_n=n^2-5n+6$. Który wyraz jest równy zeru?
Ciąg $a_n=7$ dla każdego $n$ jest:
Ciąg określono rekurencyjnie: $a_1=3$, $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$. Wypisz pięć pierwszych wyrazów i zbadaj monotoniczność.
Wykaż, że ciąg $a_n=\frac{n+2}{n+1}$ jest malejący i wszystkie jego wyrazy są większe od $1$.
W pierwszym rzędzie kina jest $20$ miejsc, a w każdym następnym o $2$ więcej. Zapisz wzór ogólny i rekurencyjny tego ciągu, a następnie oblicz, ile miejsc jest w rzędzie piętnastym.
Dany jest ciąg $a_n=\frac{3n-1}{n}$. Zbadaj jego monotoniczność i wyjaśnij, do jakiej wartości zbliżają się jego wyrazy.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.