Funkcja wykładnicza i jej własności

$$f(x)=a^x,\quad a>0,\ a\neq1$$

(zmienna jest w wykładniku)

Odpowiedź: B. $a^x$.

$$f(5)=2^5=32$$

Odpowiedź: $32$.

Każda liczba do potęgi zero daje $1$:

$$f(0)=7^0=1$$

Odpowiedź: $1$.

Bo $a^0=1$ dla każdej podstawy $a$, więc zawsze $(0,1)$.

Odpowiedź: C. $(0,1)$.

Dla podstawy $a>1$ funkcja wykładnicza jest rosnąca.

Odpowiedź: A. rosnąca.

Dla podstawy $0\lt a\lt 1$ funkcja wykładnicza jest malejąca.

Odpowiedź: B. malejąca.

Krok 1 — sprowadzamy do tej samej podstawy:

$$16=2^4$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2^x=2^4 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — zapisujemy prawą stronę jako potęgę $3$:

$$\frac{1}{9}=3^{-2}$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$3^x=3^{-2} \quad\Rightarrow\quad x=-2$$

Odpowiedź: $x=-2$.

Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie:

$$f(x)>0$$

Odpowiedź: D. $(0,\infty)$.

$$125=5^3 \quad\Rightarrow\quad 5^x=5^3 \quad\Rightarrow\quad x=3$$

Odpowiedź: $x=3$.

Ujemny wykładnik to odwrotność:

$$\left(\tfrac13\right)^{-2}=3^2=9$$

Odpowiedź: A. $9$.

Krok 1 — prawa strona jako potęga $2$: $8=2^3$.

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$x+1=3 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Odpowiedź: $x=2$.

Krok 1 — wspólna podstawa $2$: $4=2^2$, więc $4^x=2^{2x}$.

Krok 2 — porównujemy:

$$2^{2x}=2^1 \quad\Rightarrow\quad 2x=1 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac12$$

Odpowiedź: $x=\frac12$.

Funkcja wykładnicza jest zawsze dodatnia, więc $2^x=-4$ jest niemożliwe.

Odpowiedź: C. nie ma rozwiązań.

Krok 1 — prawa strona: $27=3^3$.

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$2x-1=3 \quad\Rightarrow\quad 2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Sprawdzenie: $3^{2\cdot2-1}=3^3=27$ ✔

Odpowiedź: $x=2$.

$$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18$$

Odpowiedź: B. $\frac18$.

Krok 1 — lewa strona (dodajemy wykładniki):

$$2^{x+3}=32$$

Krok 2 — prawa strona: $32=2^5$.

Krok 3 — porównujemy:

$$x+3=5 \quad\Rightarrow\quad x=2$$

Odpowiedź: $x=2$.

Krok 1 — model funkcją wykładniczą. Co rok razy $\frac12$:

$$m(t)=80\cdot\left(\tfrac12\right)^t$$

Krok 2 — po $3$ latach:

$$m(3)=80\cdot\left(\tfrac12\right)^3=80\cdot\tfrac18=10\ \text{g}$$

Odpowiedź: $10$ g.

Krok 1 — wspólna podstawa $3$: $9=3^2$, $27=3^3$.

$$9^x=(3^2)^x=3^{2x}$$

Krok 2 — porównujemy wykładniki:

$$3^{2x}=3^3 \quad\Rightarrow\quad 2x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac32$$

Odpowiedź: $x=\frac32$.

Krok 1 — obliczamy $f(x+1)$:

$$f(x+1)=2^{x+1}$$

Krok 2 — korzystamy z własności potęg $2^{x+1}=2^x\cdot2^1$:

$$f(x+1)=2^x\cdot2=2\cdot2^x=2f(x) \qquad ∎$$

Interpretacja. Zwiększenie argumentu o $1$ podwaja wartość — to istota wzrostu wykładniczego o podstawie $2$.

Sprawdzenie: $f(3)=8$, $f(4)=16=2\cdot8$ ✔

1. $f(2)=3^2$.
2. $=9$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B liczy $3\cdot2$.

1. $a^0=1$ dla każdej podstawy $a>0$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A myli z $0\cdot a$.

1. Rosnąca gdy podstawa $>1$.
2. $3>1$, więc $y=3^x$ rośnie.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? Pozostałe mają podstawę $\lt 1$ - maleją.

1. $2^{-1}=\dfrac{1}{2}$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A myli ujemny wykładnik z liczbą ujemną.

1. $f(2)=9$, $f(0)=1$.
2. $9+1=10$.

Odpowiedź: $10$.

1. $8=2^3$.
2. $2^x=2^3\Rightarrow x=3$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B błędnie zakłada $2\cdot4=8$.

1. $\big(\tfrac13\big)^2=\dfrac{1}{9}$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C to odwrotność wyniku.

1. $a^0=1$ dla każdego $a$.
2. Punkt $(0,1)$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A zamienia współrzędne.

1. $1=3^0$.
2. $x=0$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A błędnie zakłada $3^1=1$.

1. $16=2^4$, więc $x=4$.
2. Podstawa $2>1$, więc $f$ jest rosnąca (większe $x$ - większa wartość).

Odpowiedź: $x=4$; funkcja rosnąca.

1. $2^4=16$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B to $2^3$.

1. $a^0=1$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A myli z $0\cdot a$.

1. $9=3^2\Rightarrow x=2$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? A błędnie zakłada $3\cdot3=9$ z $x=3$.

1. $\big(\tfrac12\big)^3=\tfrac18$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? B to odwrotność.

1. $32=2^5\Rightarrow x=5$.

Odpowiedź: $x=5$