Klasa 3 Technikum — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
📘Teoria 3
Ciągi liczbowe
Pojęcie ciągu
Ciąg to funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Wyraz o numerze $n$ oznaczamy $a_n$. Ciąg można zadać wzorem ogólnym (jawnym) albo rekurencyjnym.
Ciąg arytmetyczny
Stała różnica $r$ między kolejnymi wyrazami:
$$a_n=a_1+(n-1)r$$
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$
Własność charakterystyczna: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów.
Ciąg geometryczny
Stały iloraz $q$ kolejnych wyrazów:
$$a_n=a_1q^{n-1}$$
$$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\qquad(q\ne1)$$
Własność: $a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$.
Szereg geometryczny
Dla $|q|\lt 1$ suma nieskończenie wielu wyrazów jest skończona:
To bezpośrednie zastosowanie ciągu geometrycznego — kapitał rośnie geometrycznie.
Na co uważać
We wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego jest $(n-1)r$, a nie $nr$ — do dziesiątego wyrazu dodajemy różnicę dziewięć razy. Wzór na sumę ciągu geometrycznego nie działa dla $q=1$ (dzielenie przez zero) — ten przypadek rozpatruj osobno. Przy szeregu najpierw sprawdź warunek $|q|\lt 1$.
Ciągi arytmetyczne i geometryczne — wzory i zastosowania
Dwa rodzaje ciągów
Arytmetyczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$.
Geometryczny — każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez stały iloraz $q$.
To średnia arytmetyczna i średnia geometryczna. W zadaniu „liczby $4$, $x$, $25$ tworzą ciąg” odpowiedź zależy od rodzaju ciągu: $14{,}5$ albo $10$.
Sprytne podstawienia
Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego zapisujemy jako $a-r$, $a$, $a+r$ — wtedy ich suma to $3a$, bez $r$.
Dla geometrycznego: $\frac{a}{q}$, $a$, $aq$ — iloczyn to $a^3$, bez $q$.
Te podstawienia zamieniają układ dwóch równań w jedno.
Monotoniczność
Ciąg arytmetyczny rośnie, gdy $r>0$, maleje, gdy $r\lt 0$. Pierwszy wyraz nie ma znaczenia.
Ciąg dany wzorem $a_n=pn+q$ jest arytmetyczny o różnicy $p$.
Szereg geometryczny
$$S=\frac{a_1}{1-q} \qquad\text{dla } |q|\lt 1$$
Warunek dotyczy modułu ilorazu. Dla $q=-5$ mamy $q\lt 1$, ale szereg jest rozbieżny.
Przykład: $8+4+2+1+\dots=\frac{8}{1-\frac12}=16$.
Procent składany
$$K_n=K_0(1+p)^n$$
To ciąg geometryczny o ilorazie $1+p$. Przy kapitalizacji częstszej niż roczna dzielimy stopę i mnożymy liczbę okresów:
$$K=K_0\left(1+\frac{p}{m}\right)^{mn}$$
Dla $5000$ zł na $12\%$ z kapitalizacją kwartalną po roku mamy $5000\cdot1{,}03^4\approx5627{,}54$ zł — o $27{,}54$ zł więcej niż przy rocznej.
Spadek wartości
Ten sam wzór z $q\lt 1$ opisuje amortyzację. Samochód tracący $15\%$ rocznie po trzech latach wart jest $0{,}85^3\approx61{,}4\%$ ceny początkowej — a nie $55\%$.
Na co uważać
Nie myl wykładnika $n$ z $n-1$. Sprawdzaj warunek $|q|\lt 1$ przed użyciem wzoru na sumę szeregu. I pamiętaj, że w ciągu geometrycznym żaden wyraz nie może być zerem.
Ciąg arytmetyczny (klasa 3 LO)
Definicja
Każdy wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy $r$: $a_{n+1}=a_n+r$.
Wyraz ogólny
$a_n=a_1+(n-1)r$.
Suma
$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
Własność
Każdy wyraz (poza skrajnymi) to średnia sąsiadów: $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o $a_1=1$ i $r=2$ wynosi:
A$55$
B$90$
C$19$
D$100$
Krok 1 — dziesiąty wyraz:
$$a_{10}=1+9\cdot2=19$$
Krok 2 — suma:
$$S_{10}=\frac{1+19}{2}\cdot10=100$$
Ładna własność: to suma kolejnych liczb nieparzystych $1+3+5+\dots+19$, a taka suma zawsze równa się $n^2$ — tutaj $10^2=100$.
Odpowiedź: D. $100$.
Zadanie nr 11
Ciąg arytmetyczny jest malejący dokładnie wtedy, gdy:
A$a_1\lt 0$
B$r\lt 0$
C$r>0$
D$a_1>r$
Każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie $r$:
$$a_{n+1}-a_n=r$$
Ciąg maleje, gdy ta różnica jest ujemna, czyli gdy $r\lt 0$.
Pierwszy wyraz nie ma znaczenia — ciąg $-5$, $-2$, $1$, $4$ zaczyna się od liczby ujemnej, a mimo to rośnie.
Odpowiedź: B. $r\lt 0$.
Zadanie nr 12
W ciągu arytmetycznym suma pierwszego i piątego wyrazu wynosi $16$, a trzeci wyraz to $a_3$. Wyznacz $a_3$.
Krok 1 — zapisujemy oba wyrazy przez $a_3$:
$$a_1=a_3-2r,\qquad a_5=a_3+2r$$
Krok 2 — dodajemy. Składniki z $r$ się znoszą:
$$a_1+a_5=2a_3=16$$
Krok 3 — wynik:
$$a_3=8$$
Warto zapamiętać. W ciągu arytmetycznym wyrazy równo oddalone od danego wyrazu sumują się do jego podwojonej wartości — to bardzo częsty motyw w zadaniach.
Odpowiedź: $a_3=8$.
📄Zadania z arkuszy 110
Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminacyjnych (matura, egzamin ósmoklasisty, próbne) dotyczące tego tematu — pokazujemy 100 najnowszych z 110.
Zadanie nr 16 · Matura 2026
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). W tym ciągu \(a_{1}=1\) oraz \(a_{5}=17\). Dziewiąty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:
A\(29\)
B\(33\)
C\(34\)
D\(37\)
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_n=a_1+(n-1)r\), otrzymamy:
$$a_5=a_1+4r$$
$$17=1+4r$$
$$16=4r$$
$$r=4$$
Krok 2. Obliczenie dziewiątego wyrazu ciągu.
Znając różnicę oraz wartość pierwszego wyrazu, obliczenie wartości dziewiątego wyrazu jest już tylko formalnością:
$$a_9=a_1+8r$$
$$a_9=1+8\cdot4$$
$$a_9=1+32$$
$$a_9=33$$
Zadanie nr 15 · Matura 2025
Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \((2m+11,\quad m^2+3,\quad 5-m)\) jest arytmetyczny i malejący.
Krok 1. Zapisanie równania.
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Ten ciąg będzie więc arytmetyczny wtedy, gdy spełni powyższą równość. Podstawiając zatem znane nam wyrazy, otrzymamy:
$$m^2+3=\frac{2m+11+5-m}{2}$$
$$m^2+3=\frac{m+16}{2}$$
$$2m^2+6=m+16$$
$$2m^2-m-10=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Jest to równanie w postaci ogólnej, więc z pomocą przyjdzie nam delta:
Współczynniki: \(a=2,\;b=-1,\;c=-10\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-10)=1-(-80)=1+80=81$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{81}=9$$
Krok 3. Ustalenie, kiedy ciąg będzie malejący.
Wiemy już, że ciąg będzie arytmetyczny, gdy \(m=-2\) oraz gdy \(m=2,5\). Musimy jeszcze ustalić, dla którego z tych przypadków, ciąg ten będzie malejący. Podstawmy zatem wyznaczone \(m\) do wyrażeń z treści zadania i zobaczmy co otrzymamy:
Gdy \(m=-2\):
\(a_{1}=2\cdot(-2)+11=-4+11=7\)
\(a_{2}=(-2)^2+3=4+3=7\)
\(a_{3}=5-(-2)=5+2=7\)
Gdy \(m=2,5\):
\(a_{1}=2\cdot2,5+11=5+11=16\)
\(a_{2}=2,5^2+3=6,25+3=9,25\)
\(a_{3}=5-2,5=2,5\)
Widzimy więc, że dla \(m=-2\) ciąg jest stały, a dla \(m=2,5\) ciąg jest rzeczywiście malejący (różnica tego ciągu będzie równa \(r=-6,75\)). Stąd też jedyną poprawną odpowiedzią do tego zadania będzie \(m=2,5\).
Zadanie nr 24 · Matura 2023
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem ogólnym: \(a_{n}=4n-9\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Wykaż, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\).
Chcąc udowodnić, że dany ciąg jest arytmetyczny, możemy skorzystać z własności związanej z trzema kolejnymi wyrazami ciągu, czyli \(a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}\). Oczywiście nie możemy wprost obliczyć wartości \(a_{1}, a_{2}\) oraz \(a_{3}\), bo to nie będzie żaden dowód. Aby przeprowadzić poprawne dowodzenie, musimy obliczyć np. wartości \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\), zatem:
$$a_{n+1}=4(n+1)-9$$
$$a_{n+1}=4n+4-9$$
$$a_{n+1}=4n-5$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Mamy wyrażenia opisujące trzy kolejne wyrazy ciągu, czyli \(a_{n}\), \(a_{n+1}\) oraz \(a_{n+2}\). Środkowym z tych trzech wyrazów jest \(a_{n+1}\), zatem:
$$a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n+2}}{2}$$
$$4n-5=\frac{4n-9+4n-1}{2}$$
$$4n-5=\frac{8n-10}{2}$$
$$4n-5=4n-5$$
$$L=P$$
W ten sposób udało się udowodnić, że ciąg \((a_{n})\) jest arytmetyczny.
Zadanie nr 27 · Próbny 2023
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) ma dwanaście wyrazów, których suma jest równa \(168\). Różnica \(a_{1}-a_{12}\) wynosi \(22\).
Wyznacz wzór ogólny ciągu \((a_{n})\). Zapisz obliczenia.
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{12}\).
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu, możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$
$$168=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$
$$14=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}$$
$$a_{1}+a_{12}=28$$
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}-a_{12}=22\), czyli że tym samym \(a_{1}=22+a_{12}\). Podstawiając tę informację do równania \(a_{1}+a_{12}=28\), wyjdzie nam, że:
$$22+a_{12}+a_{12}=28$$
$$2a_{12}=6$$
$$a_{12}=3$$
Musimy jeszcze obliczyć wartość \(a_{1}\). Zapisaliśmy przed chwilą, że \(a_{1}=22+a_{12}\), zatem:
$$a_{1}=22+3$$
$$a_{1}=25$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Do wyznaczenia wzoru potrzebujemy jeszcze różnicy ciągu arytmetycznego. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że:
$$a_{12}=a_{1}+11r$$
Podstawiając do tego równania znane nam \(a_{1}=25\) oraz \(a_{12}=3\), otrzymamy:
$$3=25+11r$$
$$11=-22$$
$$r=-2$$
Krok 3. Zapisanie wzoru.
Do zapisania wzoru skorzystamy ze standardowego wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Podstawiając do niego \(a_{1}=25\) oraz \(r=-2\), otrzymamy:
$$a_{n}=25+(n-1)\cdot(-2)$$
$$a_{n}=25-2n+2$$
$$a_{n}=-2n+27$$
Zadanie nr 30 · Matura 2022
Trójwyrazowy ciąg \((x,y-4,y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro drugi wyraz ciągu jest równy \(y-4\), a trzeci jest równy \(y\), to różnica tego ciągu jest równa \(4\). Możemy do tego dojść też w bardziej matematyczny sposób:
$$r=a_{3}-a_{2}$$
$$r=y-(y-4)$$
$$r=y-y+4$$
$$r=4$$
Krok 2. Zapisanie wartości pierwszego wyrazu.
Pierwszy wyraz ciągu jest zapisany jako niewiadoma \(x\). Spróbujmy teraz zapisać ten wyraz przy użyciu niewiadomej \(y\), tak aby potem móc ułożyć równanie z jedną niewiadomą. Skoro różnica ciągu to \(r=4\) oraz \(a_{2}=y-4\), to:
$$a_{1}=a_{2}-r$$
$$a_{1}=y-4-4$$
$$a_{1}=y-8$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości wszystkich wyrazów ciągu.
Suma wszystkich wyrazów ciągu jest równa \(6\), zatem:
$$(y-8)+(y-4)+y=6$$
$$3y-12=6$$
$$3y=18$$
$$y=6$$
Obliczona wartość to trzeci wyraz naszego ciągu, czyli \(a_{3}=6\). To oznacza, że:
$$a_{2}=y-4=6-4=2$$
$$a_{1}=y-8=6-8=-2$$
To oznacza, że wyrazami tego ciągu są kolejno \(-2\), \(2\) oraz \(6\).
Zadanie nr 27 · Próbny 2022
Liczba \(4\) jest pierwszym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(x+4\), a suma trzech jego początkowych wyrazów wynosi \(16\frac{1}{2}\). Oblicz różnicę tego ciągu.
Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=4\) oraz \(a_{2}=x+4\). To oznacza, że różnica tego ciągu to:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=x+4-4$$
$$r=x$$
Skoro każdy kolejny wyraz jest o \(x\) większy od poprzedniego, to wartość \(a_{3}\) będzie równa:
$$a_{3}=x+4+x=2x+4$$
Suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(16\frac{1}{2}\), zatem:
$$4+x+4+2x+4=16\frac{1}{2}$$
$$3x+12=16\frac{1}{2}$$
$$3x=4\frac{1}{2}$$
$$x=1,5$$
To oznacza, że różnica tego ciągu wynosi \(r=1,5\).
Zadanie nr 15 · Matura 2022
Ciąg \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa \(2\) oraz \(a_{8}=48\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(2\)
B\(24\)
C\(3\)
D\(40\)
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że:
$$a_{8}=a_{4}+4r$$
Wartość \(a_{8}=48\) podana jest w treści zadania, podobnie jak różnica \(r=2\), zatem:
$$48=a_{4}+4\cdot2$$
$$48=a_{4}+8$$
$$a_{4}=40$$
Zadanie nr 14 · Matura 2022
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_{5}=-31\) oraz \(a_{10}=-66\). Różnica tego ciągu jest równa:
A\((-7)\)
B\((-19,4)\)
C\(7\)
D\(19,4\)
Widzimy, że w treści zadania mamy podane wartości piątego i dziesiątego wyrazu. Z własności ciągów arytmetycznych powinniśmy zauważyć, że:
$$a_{10}=a_{5}+5r$$
Skoro tak, to podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy informację, że:
$$-66=-31+5r$$
$$-35=5r$$
$$r=-7$$
Zadanie nr 30 · Matura 2022
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_{1}=-1\) i \(a_{4}=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że:
$$a_{1}=-1$$
$$a_{4}=8$$
Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{1}+3r$$
$$8=-1+3r$$
$$9=3r$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(S_{100}\).
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Podstawiając teraz znane nam wartości oraz \(n=100\) (bo interesuje nas suma stu pierwszych wyrazów), otrzymamy:
$$S_{100}=\frac{2\cdot(-1)+(100-1)\cdot3}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{-2+99\cdot3}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{-2+297}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=147,5\cdot100$$
$$S_{100}=14750$$
Zadanie nr 13 · Matura 2021
Ciąg arytmetyczny \(a_{n}\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnica tego ciągu jest równa \(2\). Wtedy:
A\(a_{24}-a_{6}=18\)
B\(a_{24}-a_{6}=20\)
C\(a_{24}-a_{6}=36\)
D\(a_{24}-a_{6}=38\)
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że:
$$a_{24}=a_{6}+18r$$
Z treści zadania wynika, że \(r=2\), zatem:
$$a_{24}=a_{6}+18\cdot2$$
$$a_{24}=a_{6}+36$$
$$a_{24}-a_{6}=36$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2021
Ciąg \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa \(5\), a pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \((-3)\). Wtedy iloraz \(\dfrac{a_{4}}{a_{2}}\) jest równy:
A\(\frac{5}{3}\)
B\(2\)
C\(6\)
D\(25\)
Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=-3\) oraz \(r=5\). Skoro tak, to bez problemu obliczymy wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{4}\). Możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r=-3+5=2$$
$$a_{4}=a_{1}+3r=-3+3\cdot5=-3+15=12$$
W związku z tym iloraz \(\dfrac{a_{4}}{a_{2}}\) będzie równy:
$$\frac{a_{4}}{a_{2}}=\frac{12}{2}=6$$
Zadanie nr 35 · Próbny 2021
Rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Suma pierwszych pięciu wyrazów tego ciągu jest równa \(10\). Wyrazy \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\).
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).
Z treści zadania wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest równa \(10\), czyli:
$$S_{5}=10$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=10$$
Spróbujmy teraz każdy z tych wyrazów powiązać z \(a_{3}\). Dlaczego akurat z \(a_{3}\)? Jest to wyraz, który bardzo nam pasuje, bo nie dość, że jest środkowym wyrazem tej sumy (co jak się za chwilę okaże, ma spore znaczenie), to jeszcze występuje w ciągu geometrycznym. Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{1}=a_{3}-2r$$
$$a_{2}=a_{3}-r$$
$$a_{4}=a_{3}+r$$
$$a_{5}=a_{3}+2r$$
Możemy więc zapisać, że:
$$a_{3}-2r+a_{3}-r+a_{3}+a_{3}+r+a_{3}+2r=10$$
Wartości \(r\) występujące w równaniu tak naprawdę się nam skrócą i zostanie jedynie niewiadoma \(a_{3}\), zatem:
$$5a_{3}=10$$
$$a_{3}=2$$
Krok 2. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Paradoksalnie, różnicę ciągu arytmetycznego obliczymy korzystając z informacji na temat ciągu geometrycznego. Rozpiszmy sobie wartości \(a_{5}\) i \(a_{13}\), powiązując je z \(a_{3}\) (którego wartość już znamy, bowiem \(a_{3}=2\)):
$$a_{5}=a_{3}+2r=2+2r$$
$$a_{13}=a_{3}+10r=2+10r$$
Wiemy, że \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworząc ciąg geometryczny. Możemy skorzystać z jednej z własności ciągów geometrycznych i zapisać, że w takim razie:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{13}}{a_{5}}$$
$$\frac{2+2r}{2}=\frac{2+10r}{2+2r}$$
Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$(2+2r)\cdot(2+2r)=2\cdot(2+10r)$$
Po lewej stronie równania możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$4+8r+4r^2=4+20r$$
$$4r^2-12r=0$$
$$r^2-3r=0$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Oczywiście możemy to zrobić przy pomocy delty (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale wiemy już, że takie równania kwadratowe możemy rozwiązać w znacznie prostszy sposób, wyłączając \(r\) przed nawias:
$$r^2-3r=0$$
$$r\cdot(r-3)=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r-3=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=3$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa wyniki, ale czy oba nam pasują? Z treści zadania wynika, że ciąg arytmetyczny jest rosnący, a to sprawia, że na pewno \(r\) nie może być równe \(0\), bo dla \(r=0\) nasz ciąg byłby stały. W związku z tym jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(r=3\).
Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
Widzimy, że musimy poznać jeszcze wartość \(a_{1}\), a skoro \(a_{3}=2\) oraz \(r=3\), to:
$$a_{1}=a_{3}-2r$$
$$a_{1}=2-2\cdot3$$
$$a_{1}=2-6$$
$$a_{1}=-4$$
Teraz możemy podstawić \(a_{1}=-4\) oraz \(r=3\) do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, otrzymując:
$$a_{n}=-4+(n-1)\cdot3$$
$$a_{n}=-4+3n-3$$
$$a_{n}=3n-7$$
Zadanie nr 15 · Próbny 2021
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla \(n\ge1\). Drugi i piąty wyraz tego ciągu spełniają równość \(a_{2}+20=a_{5}+50\). Różnica \(r\) ciągu \((a_{n})\) jest równa:
A\(-10\)
B\(-1\)
C\(\frac{5}{2}\)
D\(30\)
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że \(a_{5}=a_{2}+3r\). Skoro tak, to w podanej w zadaniu równości podstawmy pod \(a_{5}\) wartość \(a_{2}+3r\) i rozwiążmy powstałe równanie:
$$a_{2}+20=a_{2}+3r+50$$
$$20=3r+50$$
$$-30=3r$$
$$r=-10$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2021
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) składa się z dwudziestu jeden wyrazów, których suma jest równa \(147\). Jeśli odrzucimy dwa początkowe i trzy końcowe wyrazy tego ciągu, to suma wszystkich pozostałych wyrazów będzie równa \(108\). Zapisz wzór ogólny ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Rozpisanie sumy dwudziestu jeden wyrazów.
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu. Nasz ciąg ma \(21\) wyrazów, zatem \(n=21\). Wiemy też, że suma tych wyrazów jest równa \(147\). Podstawiając te informacje do wzoru, otrzymamy taki oto zapis:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{21}=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21$$
$$147=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}\cdot21$$
$$7=\frac{a_{1}+a_{21}}{2}$$
$$a_{1}+a_{21}=14$$
Z własności ciągów wiemy, że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Skoro tak, to możemy kontynuować obliczenia i zapisać, że:
$$a_{1}+a_{21}=14$$
$$a_{1}+a_{1}+20r=14$$
$$2a_{1}+20r=14$$
$$a_{1}+10r=7$$
Krok 2. Zapisanie równania po odjęciu dwóch początkowych i trzech końcowych wyrazów.
Z treści zadania wynika, że kiedy odjęliśmy dwa początkowe i trzy końcowe wyrazy, to suma wszystkich wyrazów zmalała do \(108\), czyli zmalała o \(147-108=39\). Możemy więc matematycznie zapisać, że:
$$a_{1}+a_{2}+a_{19}+a_{20}+a_{21}=39$$
Póki co mamy bardzo dużo niewiadomych, więc spróbujmy uprościć cały zapis. Korzystając z własności ciągu, możemy teraz rozpisać, że np. \(a_{2}=a_{1}+r\) albo też \(a_{21}=a_{1}+20r\). Nasz zapis możemy więc przekształcić do następującej postaci:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+18r+a_{1}+19r+a_{1}+20r=39$$
$$5a_{1}+58r=39$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z pierwszego kroku wiemy już, że \(a_{1}+10r=7\), a z drugiego wiemy, że \(5a_{1}+58r=39\). Mamy więc dwa równania i dwie niewiadome, zatem z pomocą może nam przyjść układ równań:
\begin{cases} a_{1}+10r=7 \\ 5a_{1}+58r=39 \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania możemy teraz podstawić pierwsze równanie do drugiego i zapisać, że:
$$5\cdot(7-10r)+58r=39$$
$$35-50r+58r=39$$
$$35+8r=39$$
$$8r=4$$
$$r=\frac{1}{2}$$
Krok 4. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając z wybranego równania np. \(a_{1}+10r=7\), możemy podstawić \(r=\frac{1}{2}\) i obliczyć wartość \(a_{1}\), zatem:
$$a_{1}+10r=7$$
$$a_{1}+10\cdot\frac{1}{2}=7$$
$$a_{1}+5=7$$
$$a_{1}=2$$
Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Znając \(r=\frac{1}{2}\) oraz \(a_{1}=2\), możemy bez przeszkód wyznaczyć wzór ogólny ciągu, podstawiając te dwie dane do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{n}=2+(n-1)\cdot\frac{1}{2}$$
$$a_{n}=2+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2}$$
$$a_{n}=\frac{1}{2}n+1\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2021
W rosnącym ciągu arytmetycznym spełniony jest warunek \(a_{3}+a_{7}=28\), więc:
A\(a_{5}=14\)
B\(a_{5}=7\)
C\(a_{5}=21\)
D\(a_{5}=12\)
W tym zadaniu powinniśmy dostrzec, że:
$$a_{3}=a_{5}-2r$$
$$a_{7}=a_{5}+2r$$
Skoro tak, to:
$$a_{3}+a_{7}=a_{5}-2r+a_{5}+2r=2a_{5}$$
Wiemy, że suma \(a_{3}+a_{7}=28\), więc:
$$2a_{5}=28$$
$$a_{5}=14$$
Zadanie nr 31 · Próbny 2021
Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi \(72\), a szósty wyraz tego ciągu jest równy \(22\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
W tym zadaniu musimy skorzystać wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\). Podstawiając do tego wzoru \(n=6\), otrzymamy:
$$S_{6}=\frac{a_{1}+a_{6}}{2}\cdot6$$
$$72=\frac{a_{1}+22}{2}\cdot6$$
$$12=\frac{a_{1}+22}{2}$$
$$24=a_{1}+22$$
$$a_{1}=2$$
Zadanie nr 31 · Matura 2021
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Zapisanie wzoru na sumę dwudziestu początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20$$
Z treści zadania wynika, że ta suma ma być równa \(20a_{21}+62\), zatem:
$$\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20=20a_{21}+62$$
$$(a_{1}+a_{20})\cdot10=20a_{21}+62$$
$$a_{1}+a_{20}=2a_{21}+6,2$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Z własności ciągów wiemy, że \(a_{20}=a_{1}+19r\) oraz że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Podstawiając te informacje do wyznaczonego przed chwilą równania, możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+19r=2\cdot(a_{1}+20r)+6,2$$
$$2a_{1}+19r=2a_{1}+40r+6,2$$
$$-21r=6,2$$
$$-21r=\frac{62}{10} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{21}\right)$$
$$r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}$$
Zadanie nr 15 · Matura 2021
Ciąg arytmetyczny \(a_{n}\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_{3}+a_{5}=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(28\)
B\(29\)
C\(33\)
D\(40\)
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{5}=a_{1}+4r$$
Podstawiając te dane do sumy z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}+a_{5}=58$$
$$a_{1}+2r+a_{1}+4r=58$$
$$2a_{1}+6r=58 \quad\bigg/:2$$
$$a_{1}+3r=29$$
\(a_{1}+3r\) to nic innego jak wartość czwartego wyrazu, stąd też \(a_{4}=29\).
Zadanie nr 18 · Matura 2020
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dane dwa wyrazy: \(a_{1}=2\) i \(a_{2}=5\). Stąd wynika, że n-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem:
A\(a_{n}=3n-1\)
B\(a_{n}=3n+2\)
C\(a_{n}=2n+3\)
D\(a_{n}=2n-1\)
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro \(a_{1}=2\) i \(a_{2}=5\), to różnica ciągu będzie równa:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=5-2$$
$$r=3$$
Krok 2. Zapisanie wzoru ciągu.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{n}=2+(n-1)\cdot3$$
$$a_{n}=2+3n-3$$
$$a_{n}=3n-1$$
Zadanie nr 11 · Próbny 2020
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), o którym wiemy, że: \(a_{1}=2\) i \(a_{2}=9\). Wtedy \(a_{n}=79\) dla:
A\(n=10\)
B\(n=11\)
C\(n=12\)
D\(n=13\)
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znamy dwa sąsiednie wyrazy ciągu arytmetycznego, zatem różnica między nimi da nam odpowiedź na pytanie jaka jest różnica tego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=9-2$$
$$r=7$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(n\).
Szukamy wartości \(n\) dla której ciąg przyjmuje wartość równą \(79\) (czyli tak naprawdę chcemy się dowiedzieć który wyraz tego ciągu jest równy \(79\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$79=2+(n-1)\cdot7$$
$$79=2+7n-7$$
$$79=7n-5$$
$$84=7n$$
$$n=12$$
Zadanie nr 31 · Próbny 2020
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).
Krok 1. Przekształcenie wyrazów z pierwszej sumy.
Każdy z wyrazów ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
W związku z tym:
$$a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100$$
$$(a_{1}+20r)+(a_{1}+23r)+(a_{1}+26r)+(a_{1}+29r)=100$$
$$4a_{1}+98r=100$$
$$2a_{1}+49r=50$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{25}+a_{26}\).
Mamy obliczyć ile to jest \(a_{25}+a_{26}\), czyli zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy policzyć sumę:
$$a_{25}+a_{26}=(a_{1}+24r)+(a_{1}+25r)$$
$$a_{25}+a_{26}=2a_{1}+49r$$
Wiemy już jaka jest wartość wyrażenia \(2a_{1}+49r\), zatem możemy zapisać, że:
$$a_{25}+a_{26}=50$$
Zadanie nr 16 · Próbny 2020
Jeśli nieskończony ciąg \((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym, w którym \(a_{1}=5\) i różnica \(r=-3\), to:
A\(a_{n}=2-3n\)
B\(a_{n}=8-3n\)
C\(a_{n}=-8-3n\)
D\(a_{n}=3+3n\)
Nasze zadanie polega tak naprawdę na zapisanie wzoru tego ciągu arytmetycznego. W tym celu wystarczy skorzystać skorzystać ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i podstawić do niego \(a_{1}=5\) oraz \(r=-3\) :
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{n}=5+(n-1)\cdot(-3)$$
$$a_{n}=5-3n+3$$
$$a_{n}=8-3n$$
Zadanie nr 15 · Matura 2020
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), czwarty wyraz jest równy \(3\), a różnica tego ciągu jest równa \(5\). Suma \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\) jest równa:
A\(-42\)
B\(-36\)
C\(-18\)
D\(6\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego oraz trzeciego wyrazu.
Skoro czwarty wyraz naszego ciągu jest jest równy \(a_{4}=3\), a różnica ciągu wynosi \(r=5\), to trzeci wyraz będzie równy:
$$a_{3}=a_{4}-r$$
$$a_{3}=3-5$$
$$a_{3}=-2$$
Analogicznie obliczymy wartość drugiego i pierwszego wyrazu:
$$a_{2}=a_{3}-r$$
$$a_{2}=-2-5$$
$$a_{2}=-7$$
$$\quad$$
$$a_{1}=a_{2}-r$$
$$a_{1}=-7-5$$
$$a_{1}=-12$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\).
Na koniec została już formalność, czyli zsumowanie wszystkich czterech wyrazów:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=-12+(-7)+(-2)+3=-18$$
Zadanie nr 13 · Matura 2020
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(a_{4}=2020\). Suma \(a_{2}+a_{6}\) jest równa:
A\(505\)
B\(1010\)
C\(2020\)
D\(4040\)
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że \(a_{2}=a_{4}-2r\) oraz że \(a_{6}=a_{4}+2r\). Skoro tak, to sumę \(a_{2}+a_{6}\) możemy rozpisać jako:
$$a_{2}+a_{6}=a_{4}-2r+a_{4}+2r=2a_{4}$$
Z treści zadania wiemy, że \(a_{4}=2020\), zatem:
$$2a_{4}=2\cdot2020=4040$$
Zadanie nr 11 · Matura 2019
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są wyrazy: \(a_{1}=-11\) i \(a_{9}=5\). Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(-24\)
B\(-27\)
C\(-16\)
D\(-18\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
W naszym przypadku \(a_{1}=-11\) oraz \(a_{9}=5\). Skoro mamy obliczyć sumę dziewięciu pierwszych wyrazów to musimy jeszcze podstawić \(n=9\), zatem:
$$S_{9}=\frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot9$$
$$S_{9}=\frac{-11+5}{2}\cdot9$$
$$S_{9}=\frac{-6}{2}\cdot9$$
$$S_{9}=(-3)\cdot9$$
$$S_{9}=-27$$
Zadanie nr 32 · Matura 2019
W ciągu arytmetycznym \((a_{1}, a_{2},...,a_{39},a_{40})\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa \(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{38}+a_{40}=1340$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}=1400$$
Powstały nam więc tak jakby dwa oddzielne ciągi arytmetyczne, każdy składający się z 20-stu wyrazów.
Jak dobrze się przyjrzymy to zauważymy, że każdy wyraz pierwszego ciągu jest o \(r\) większy od analogicznego wyrazu z ciągu drugiego, bo przecież:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{4}=a_{3}+r$$
$$a_{40}=a_{39}+r$$
Możemy więc ten pierwszy ciąg zapisać jako:
$$(a_{1}+r)+(a_{3}+r)+(a_{5}+r)+...+(a_{37}+r)+(a_{39}+r)=1340$$
$$\text{czyli:}$$
$$a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}+20r=1340$$
Skoro suma \(a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}\) jest równa \(1400\), to podstawiając to do powyższego równania otrzymamy:
$$1400+20r=1340$$
$$20r=-60$$
$$r=-3$$
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego.
Skoro suma wyrazów parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów nieparzystych jest równa \(1400\), to suma wszystkich wyrazów naszego całego czterdziesto-wyrazowego ciągu wynosi:
$$S_{40}=1340+1400$$
$$S_{40}=2740$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{40}}{2}\cdot40$$
Wiemy już, że \(S_{40}=2740\) oraz że \(r=-3\). Dodatkowo wartość \(a_{40}\) możemy rozpisać jako \(a_{1}+39r\). To sprawia, że:
$$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{1}+39r}{2}\cdot40$$
$$2740=\frac{a_{1}+a_{1}+39\cdot(-3)}{2}\cdot40$$
$$2740=(a_{1}+a_{1}+(-117))\cdot20$$
$$137=2a_{1}-117$$
$$2a_{1}=254$$
$$a_{1}=127$$
Krok 4. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu.
Skoro \(a_{1}=127\) oraz \(r=-3\), to korzystając z tego, że \(a_{40}=a_{1}+39r\) otrzymamy:
$$a_{40}=a_{1}+39r$$
$$a_{40}=127+39\cdot(-3)$$
$$a_{40}=127-117$$
$$a_{40}=10$$
Zadanie nr 17 · Próbny 2019
Różnica \(r\) ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym \(a_{n}=5-3n\;(n\ge1)\) wynosi:
A\(5\)
B\(3\)
C\(2\)
D\(-3\)
Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru, bowiem jest to liczba znajdująca się przed \(n\). W naszym przypadku przed \(n\) znajduje się \(-3\), stąd też \(r=-3\).
Gdybyśmy jednak nie pamiętali o tej własności, to moglibyśmy korzystając ze wzoru ciągu wyznaczyć dwa dowolne wyrazy (np. pierwszy i drugi) i na tej podstawie moglibyśmy wyznaczyć poszukiwaną różnicę ciągu:
$$a_{1}=5-3\cdot1$$
$$a_{1}=5-3$$
$$a_{1}=2$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{2}=5-3\cdot2$$
$$a_{2}=5-6$$
$$a_{2}=-1$$
Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu możemy zapisać, że:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=-1-2$$
$$r=-3$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2019
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) określonym dla \(n\ge1\), dane są wyrazy \(a_{2}=-2\) i \(a_{5}=7\). Oblicz sumę wyrazów tego ciągu, od wyrazu piątego do wyrazu dwudziestego.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że:
$$a_{5}=a_{2}+3r$$
Znając wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{5}\) możemy obliczyć różnicę ciągu, zatem:
$$7=-2+3r$$
$$9=3r$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Nie mamy wzoru na obliczenie sumy wyrazów od piątego do dwudziestego. Powinniśmy jednak zauważyć, że to czego szukamy da się obliczyć nieco sprytniej. Wystarczy policzyć ile to jest \(S_{20}\) i odjąć od tego \(S_{4}\). Do jednego i drugiego wzoru przyda nam się poznanie wartości \(a_{1}\), zatem policzmy ją teraz. Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i informacji o tym, że przykładowo \(a_{2}=-2\) oraz \(r=3\). Otrzymamy zatem:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{1}=a_{2}-r$$
$$a_{1}=-2-3$$
$$a_{1}=-5$$
Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów tego ciągu.
Zgodnie z przyjętą strategią musimy obliczyć wartość \(S_{4}\), zatem podstawiając \(a_{1}=-5\) oraz \(n=4\) do wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{4}=\frac{2\cdot(-5)+(4-1)\cdot3}{2}\cdot4$$
$$S_{4}=\frac{-10+3\cdot3}{2}\cdot4$$
$$S_{4}=\frac{-10+9}{2}\cdot4$$
$$S_{4}=-\frac{1}{2}\cdot4$$
$$S_{4}=-2$$
Krok 4. Obliczenie sumy dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Analogicznie jak w poprzednim kroku, tym razem obliczymy \(S_{20}\), zatem:
$$S_{20}=\frac{2\cdot(-5)+(20-1)\cdot3}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{-10+19\cdot3}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{-10+19\cdot3}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{-10+57}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{47}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{47}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=470$$
Krok 5. Obliczenie sumy wyrazów od piątego do dwudziestego.
Na sam koniec musimy już tylko od \(S_{20}\) odjąć wartość \(S_{4}\) i otrzymamy to czego szukamy:
$$S_{5-20}=S_{20}-S_{4}$$
$$S_{5-20}=470-(-2)$$
$$S_{5-20}=472$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2019
Szósty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:
A\(0\)
B\(5\)
C\(11\)
D\(-11\)
Krok 1. Rozpisanie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{6}=a_{1}+5r$$
$$\text{czyli:}$$
$$a_{1}=a_{6}-5r$$
Skoro \(a_{6}\) jest równe \(0\), to wychodzi nam, że:
$$a_{1}=0-5r$$
$$a_{1}=-5r$$
Krok 2. Obliczenie sumy jedenastu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{11}=\frac{2a_{1}+(11-1)r}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{2\cdot(-5r)+10r}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{-10r+10r}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=\frac{0}{2}\cdot11$$
$$S_{11}=0$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2019
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-4\). Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o \(3\), a trzecią powiększymy o \(4\), to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.
Krok 1. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wynika, że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=-4\). Skoro tak, to możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-4\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-2\cdot4=a_{1}-8\)
Krok 2. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Zgodnie z treścią zadania możemy zapisać, że:
Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(a_{1}+3\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-4+3=a_{1}-1\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-8+4=a_{1}-4\)
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
W ciągu geometrycznym dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając zapisane przed chwilą wyrazy ciągu geometrycznego otrzymamy:
$$(a_{1}-1)^2=(a_{1}+3)\cdot(a_{1}-4)$$
$${a_{1}}^2-2a_{1}+1^2={a_{1}}^2-4a_{1}+3a_{1}-12$$
$$-2a_{1}+1=-a_{1}-12$$
$$-a_{1}=-13$$
$$a_{1}=13$$
Krok 4. Obliczenie wartości wyrazów ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego.
Korzystając z oznaczeń, które zapisaliśmy sobie w pierwszym i drugim kroku otrzymamy:
Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(13\)
Drugi wyraz ciągu arytm.: \(13-4=9\)
Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(13-8=5\)
Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(13+3=16\)
Drugi wyraz ciągu geom.: \(13-1=12\)
Trzeci wyraz ciągu geom.: \(13-4=9\)
Możemy więc powiedzieć, że ciąg arytmetyczny tworzą liczby \(13,9,5\), a ciąg geometryczny tworzą liczby \(16,12,9\).
Zadanie nr 9 · Matura 2019
Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\ge1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k}\), to \(k\) jest równe:
A\(8\)
B\(7\)
C\(6\)
D\(5\)
Krok 1. Rozpisanie poszczególnych wyrazów ciągu.
Rozpiszmy drugi, dziewiąty oraz czwarty wyraz ciągu korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Otrzymamy wtedy, że:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{9}=a_{1}+8r$$
$$a_{4}=a_{1}+3r$$
Krok 2. Podstawienie rozpisanych wyrazów do wyrażenia z treści zadania.
Podstawiając teraz wyznaczone przed chwilą wyrazy do wyrażenia z treści zadania otrzymamy:
$$a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k}$$
$$a_{1}+r+a_{1}+8r=a_{1}+3r+a_{k}$$
$$2a_{1}+9r=a_{1}+3r+a_{k}$$
$$a_{k}=a_{1}+6r$$
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu wiemy, że wartość \(a_{1}+6r=a_{7}\), więc wychodzi nam, że \(a_{k}=a_{7}\). To oznacza, że \(a_{k}\) jest siódmym wyrazem naszego ciągu, czyli \(k=7\).
Zadanie nr 11 · Matura 2019
W ciągu arytmetycznym \(a_{n}\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy: \(a_{1}=7\) i \(a_{8}=-49\). Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(-168\)
B\(-189\)
C\(-21\)
D\(-42\)
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Szukamy sumy ośmiu początkowych wyrazów, zatem podstawimy \(n=8\) i do tego podstawimy to co znamy z treści zadania, czyli \(a_{1}=7\) oraz \(a_{8}=-49\). W związku z tym:
$$S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8$$
$$S_{8}=\frac{7+(-49)}{2}\cdot8$$
$$S_{8}=\frac{-42}{2}\cdot8$$
$$S_{8}=-21\cdot8$$
$$S_{8}=-168$$
Zadanie nr 32 · Matura 2019
Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=-4\) , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\) jest równa \(16\).
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=-78\).
Krok 1. Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu.
Skoro średnia arytmetyczna sześciu wyrazów tego ciągu jest równa \(16\), to znaczy że:
$$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{6}=16$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=96$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać każdy z kolejnych wyrazów w następujący sposób:
\(a_{1}\)
\(a_{2}=a_{1}+r\)
\(a_{3}=a_{1}+2r\)
\(a_{4}=a_{1}+3r\)
\(a_{5}=a_{1}+4r\)
\(a_{6}=a_{1}+5r\)
Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r+a_{1}+5r=96$$
$$6a_{1}+15r=96$$
Z treści zadania wynika, że \(r=-4\), zatem mamy:
$$6a_{1}+15\cdot(-4)=96$$
$$6a_{1}-60=96$$
$$6a_{1}=156$$
$$a_{1}=26$$
Krok 3. Obliczenie wartości \(k\) dla której \(a_{k}=-78\).
Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie który wyraz tego ciągu jest równy \(-78\), wiedząc że \(a_{1}=26\) oraz \(r=-4\). Możemy to zrobić korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W zasadzie w tym wzorze zamiast symbolu \(n\) możemy użyć symbolu \(k\), tak aby dopasować się do treści zapisu z zadania, zatem:
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r$$
$$-78=26+(k-1)\cdot(-4)$$
$$-78=26-4k+4$$
$$-78=30-4k$$
$$-4k=-108$$
$$k=27$$
Zadanie nr 13 · Matura 2018
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), spełnia warunek \(a_{3}+a_{4}+a_{5}=15\). Wtedy:
A\(a_{4}=5\)
B\(a_{4}=6\)
C\(a_{4}=3\)
D\(a_{4}=4\)
Korzystając ze własności ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{4}-r$$
$$a_{5}=a_{4}+r$$
W związku z tym:
$$a_{3}+a_{4}+a_{5}=15$$
$$a_{4}-r+a_{4}+a_{4}+r=15$$
$$3a_{4}=15$$
$$a_{4}=5$$
Zadanie nr 30 · Matura 2018
Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(34\), a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa \(110\). Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Krok 1. Ułożenie układu równań
Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{9}=a_{1}+8r$$
$$a_{1}+8r=34$$
To będzie nasze pierwsze równanie z którego zbudujemy układ równań. Drugie równanie będzie wynikać z informacji na temat sumy ośmiu początkowych wyrazów:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8$$
$$110=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8$$
$$110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4$$
$$a_{1}+a_{8}=27,5$$
$$a_{1}+a_{1}+7r=27,5$$
$$2a_{1}+7r=27,5$$
To oznacza, że możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} a_{1}+8r=34 \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Najprościej będzie zastosować tutaj metodę podstawiania, wyznaczając wartość \(a_{1}\) z pierwszego równania:
$$\begin{cases} a_{1}=34-8r \\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$2\cdot(34-8r)+7r=27,5$$
$$68-16r+7r=27,5$$
$$68-9r=27,5$$
$$-9r=-40,5$$
$$r=4,5$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość \(r=4,5\) możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyliczoną różnicę do jednego z wyznaczonych równań:
$$a_{1}=34-8r$$
$$a_{1}=34-8\cdot4,5$$
$$a_{1}=34-36$$
$$a_{1}=-2$$
To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).
Zadanie nr 12 · Próbny 2018
Dane są cztery ciągi określone wzorami ogólnymi dla \(n\ge1\). Który z nich jest ciągiem arytmetycznym?
A\(a_{n}=2n\)
B\(a_{n}=n^2\)
C\(a_{n}=2^{n}\)
D\(a_{n}=\frac{2}{n}\)
Już po samym zapisie wzoru powinniśmy dostrzec, że ciągiem arytmetycznym jest ciąg \(a_{n}=2n\), a różnica tego ciągu jest równa \(2\) o czym świadczy dwójka znajdująca się przed \(n\).
Gdyby ktoś jednak nie pamiętał o tej własności, to zawsze można obliczyć np. trzy pierwsze wyrazy danego ciągu i sprawdzić, czy różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest taka sama jak między wyrazem drugim i trzecim:
Dla ciągu \(a_{n}=2n\):
$$a_{1}=2\cdot1=2$$
$$a_{2}=2\cdot2=4$$
$$a_{3}=2\cdot3=6$$
Widzimy wyraźnie, że różnica tego ciągu jest równa \(2\).
Dla ciągu \(a_{n}=n^2\):
$$a_{1}=1^2=1$$
$$a_{2}=2^2=4$$
$$a_{3}=3^2=9$$
Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(3\), a między drugim i trzecim jest równa \(5\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.
Dla ciągu \(a_{n}=2^{n}\):
$$a_{1}=2^1=2$$
$$a_{2}=2^2=4$$
$$a_{3}=2^3=8$$
Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(2\), a między drugim i trzecim jest równa \(4\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.
Dla ciągu \(a_{n}=\frac{2}{n}\):
$$a_{1}=\frac{2}{1}=2$$
$$a_{2}=\frac{2}{2}=1$$
$$a_{3}=\frac{2}{3}$$
Tutaj różnica między pierwszym i drugim wyrazem jest równa \(-1\), a między drugim i trzecim jest równa \(-\frac{1}{3}\). Nie jest to więc ciąg arytmetyczny.
Zadanie nr 29 · Próbny 2018
Dla pewnej liczby rzeczywistej \(x\) liczby: \(1-x\), \(2-3x\), \(10+2x\) są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\). Wyznacz \(x\) oraz oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie wartości \(x\).
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że dla trzech kolejno następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Podstawiając do tego wzoru wartości podane w treści zadania otrzymamy:
$$2-3x=\frac{(1-x)+(10+2x)}{2}$$
$$2-3x=\frac{11+x}{2}$$
$$4-6x=11+x$$
$$-7x=7$$
$$x=-1$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego, drugiego i trzeciego wyrazu.
Skoro \(x=-1\), to podstawiając tę wartość do wyrażeń podanych w treści zadania otrzymamy:
$$a_{1}=1-(-1)=1+1=2$$
$$a_{2}=2-3\cdot(-1)=2-(-3)=5$$
$$a_{3}=10+2\cdot(-1)=10-2=8$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=5-2$$
$$r=3$$
Krok 4. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów.
Znamy wartość \(a_{1}=2\), wiemy też że \(r=3\), zatem możemy obliczyć sumę dziesięciu pierwszych wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{10}=\frac{2\cdot2+(10-1)\cdot3}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=\frac{4+9\cdot3}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=\frac{4+27}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=\frac{31}{2}\cdot10$$
$$S_{10}=15,5\cdot10$$
$$S_{10}=155$$
Zadanie nr 12 · Próbny 2018
Dodatnich wyrazów ciągu określonego wzorem \(a_n=-2n+2018\) dla \(n\ge 1\) jest:
Anieskończenie wiele
B\(1009\)
C\(1008\)
D\(2016\)
Krok 1. Zapisanie i rozwiązanie nierówności.
Aby sprawdzić ile dodatnich wyrazów ma ten ciąg wystarczy rozwiązać prostą nierówność:
$$-2n+2018\gt0$$
$$-2n\gt-2018$$
$$n\lt1009$$
Uwaga na zmianę znaku - kiedy mnożymy lub dzielimy nierówność przez liczbę ujemną, to musimy zmienić znak na przeciwny.
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wiemy, że w ciągach \(n\) jest liczbą naturalną. Musimy więc ustalić ile jest liczb naturalnych mniejszych od \(1009\) (bo \(n\) wyszło nam mniejsze od \(1009\)). Takich liczb będzie oczywiście \(1008\) (od \(1\) do \(1008\)), zatem tyle też będziemy mieli dodatnich wyrazów naszego ciągu.
Zadanie nr 14 · Próbny 2018
W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa \(5\frac{1}{2}\), a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(12\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A\(1\frac{1}{2}\)
B\(4\frac{1}{2}\)
C\(-\frac{1}{2}\)
D\(1\)
Krok 1. Rozpisanie sumy dwóch i trzech pierwszych wyrazów.
Suma dwóch pierwszych wyrazów to tak naprawdę \(a_{1}+a_{2}\). Suma trzech pierwszych wyrazów to \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy napisać, że \(a_{2}=a_{1}+r\) oraz \(a_{3}=a_{1}+2r\). Jeżeli tak rozpiszemy sobie tę sytuację to otrzymamy:
$$a_{1}+a_{2}=5\frac{1}{2}$$
$$a_{1}+a_{1}+r=5\frac{1}{2}$$
$$2a_{1}+r=5\frac{1}{2}$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=12$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=12$$
$$3a_{1}+3r=12$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu arytmetycznego.
Z naszych równań otrzymanych w pierwszym kroku możemy ułożyć teraz układ równań:
\begin{cases} 2a_{1}+r=5\frac{1}{2} \\ 3a_{1}+3r=12 \end{cases}
Ten układ równań najlepiej jest rozwiązać metodą podstawiania, wyznaczając wartość \(r\) z pierwszego równania:
\begin{cases} r=5\frac{1}{2}-2a_{1} \\ 3a_{1}+3r=12 \end{cases}
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$3a_{1}+3\cdot\left(5\frac{1}{2}-2a_{1}\right)=12$$
$$3a_{1}+16\frac{1}{2}-6a_{1}=12$$
$$-3a_{1}=-4\frac{1}{2}$$
$$a_{1}=1\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2018
Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg \((4a-5;\;a;\;b;\;b+2;\;9)\). Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a trzy ostatnie są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Oblicz \(a\) i \(b\).
Krok 1. Zapisanie równań wynikających z własności ciągów.
Dla trzech następujących po sobie wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Skoro trzy pierwsze wyrazy, czyli \(4a-5;\;a;\;b\), są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to korzystając z powyższej własności otrzymamy równanie:
$$a=\frac{4a-5+b}{2}$$
Dla trzech następujących po sobie wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Skoro trzy ostatnie wyrazy, czyli \(b;\;b+2;\;9\), są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to korzystając z powyższej własności otrzymamy równanie:
$$(b+2)^2=b\cdot9$$
$$b^2+4b+4=9b$$
$$b^2-5b+4=0$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(b\).
Z zależności wynikającej z własności ciągów geometrycznych otrzymaliśmy równanie kwadratowe \(b^2-5b+4=0\). Rozwiązaniem tego równania będzie nasza niewiadoma \(b\). Skoro tak, to rozwiążmy to równanie, wykorzystując niezawodną deltę:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot4=25-16=9$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
Wyszło nam więc, że są dwie możliwości \(b=1\) oraz \(b=4\) i żadnej z nich nie możemy wykluczyć. Obydwie otrzymane odpowiedzi są jak najbardziej prawidłowe.
Krok 3. Obliczenie wartości \(a\).
W pierwszym kroku korzystając z własności ciągów arytmetycznych otrzymaliśmy równanie \(a=\frac{4a-5+b}{2}\). Skoro znamy już wartość \(b\), to możemy teraz obliczyć wartość \(a\). Z racji tego, że otrzymaliśmy dwa warianty naszej liczby \(b\), to musimy to uwzględnić przy wyznaczaniu wartości \(a\):
Jeżeli \(b=1\), to:
$$a=\frac{4a-5+b}{2}$$
$$a=\frac{4a-5+1}{2}$$
$$a=\frac{4a-4}{2}$$
$$2a=4a-4$$
$$-2a=-4$$
$$a=2$$
Jeżeli \(b=4\), to:
$$a=\frac{4a-5+b}{2}$$
$$a=\frac{4a-5+4}{2}$$
$$a=\frac{4a-1}{2}$$
$$2a=4a-1$$
$$-2a=-1$$
$$a=\frac{1}{2}$$
I tu ponownie, żadnego rozwiązania nie możemy wykluczyć. To z kolei oznacza, że to zadanie ma dwa rozwiązania: \(a=2, b=1\) lub też \(a=\frac{1}{2}, b=4\).
Zadanie nr 14 · Matura 2018
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=16-\frac{1}{2}\cdot n\) dla każdej liczby całkowitej \(n\ge1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa:
A\(r=-16\)
B\(r=-\frac{1}{2}\)
C\(r=-\frac{1}{32}\)
D\(r=15\frac{1}{2}\)
Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru - to będzie liczba znajdująca się przed \(n\). Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności ciągów, to możemy po prostu obliczyć wartość np. pierwszego oraz drugiego wyrazu (podstawiając \(n=1\) oraz \(n=2\)) i z nich wyznaczyć różnicę:
$$a_{1}=16-\frac{1}{2}\cdot1=16-\frac{1}{2}=15\frac{1}{2}$$
$$a_{2}=16-\frac{1}{2}\cdot2=16-1=15$$
Teraz znając wartości dwóch wyrazów możemy bez przeszkód obliczyć różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=15-15\frac{1}{2}$$
$$r=-\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 33 · Matura 2018
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla liczb naturalnych \(n\ge1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy stworzyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} a_{6}=2a_{5} \\ S_{10}=\frac{15}{4} \end{cases}$$
Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać piąty i szósty wyraz korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) oraz musimy rozpisać sumę dziesięciu wyrazów korzystając ze wzoru \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\).
W związku z tym:
$$\begin{cases} a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \\ \frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4} \end{cases}$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Zaczynając od wymnożenia odpowiednich wartości w nawiasach możemy zapisać, że:
$$\begin{cases} a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \\ \frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4} \end{cases}$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Znając wartość \(r=\frac{1}{4}\), możemy teraz wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyznaczoną różnicę ciągu do jednego z równań np.:
$$-a_{1}-3r=0$$
$$-a_{1}-3\frac{1}{4}=0$$
$$-a_{1}-\frac{3}{4}=0$$
$$a_{1}=-\frac{3}{4}$$
Zadanie nr 12 · Matura 2018
Dla ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest spełniony warunek \(a_{4}+a_{5}+a_{6}=12\). Wtedy:
A\(a_{5}=4\)
B\(a_{5}=3\)
C\(a_{5}=6\)
D\(a_{5}=5\)
Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{5}-r$$
$$a_{6}=a_{5}+r$$
W związku z tym:
$$a_{4}+a_{5}+a_{6}=12$$
$$a_{5}-r+a_{5}+a_{5}+r=12$$
$$3a_{5}=12$$
$$a_{5}=4$$
Zadanie nr 31 · Matura 2018
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(30\), a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa \(162\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Z treści zadania wynika, że:
$$a_{12}=30$$
$$S_{12}=162$$
Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego będziemy w stanie wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot n$$
$$S_{12}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12$$
$$162=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot12$$
$$162=(a_{1}+30)\cdot6 \quad\bigg/:6$$
$$27=a_{1}+30$$
$$a_{1}=-3$$
Zadanie nr 11 · Matura 2017
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), o którym wiemy, że: \(a_{1}=2\) i \(a_{2}=9\). Wtedy \(a_{n}=79\) dla:
A\(n=10\)
B\(n=11\)
C\(n=12\)
D\(n=13\)
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znamy dwa sąsiednie wyrazy ciągu arytmetycznego, zatem różnica między nimi da nam odpowiedź na pytanie jaka jest różnica tego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=9-2$$
$$r=7$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(n\).
Szukamy wartości \(n\) dla której ciąg przyjmuje wartość równą \(79\) (czyli tak naprawdę chcemy się dowiedzieć który wyraz tego ciągu jest równy \(79\)). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$79=2+(n-1)\cdot7$$
$$79=2+7n-7$$
$$79=7n-5$$
$$84=7n$$
$$n=12$$
Zadanie nr 31 · Matura 2017
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla \(n\ge1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).
Krok 1. Przekształcenie wyrazów z pierwszej sumy.
Każdy z wyrazów ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
W związku z tym:
$$a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100$$
$$(a_{1}+20r)+(a_{1}+23r)+(a_{1}+26r)+(a_{1}+29r)=100$$
$$4a_{1}+98r=100$$
$$2a_{1}+49r=50$$
Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{25}+a_{26}\).
Mamy obliczyć ile to jest \(a_{25}+a_{26}\), czyli zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy policzyć sumę:
$$a_{25}+a_{26}=(a_{1}+24r)+(a_{1}+25r)$$
$$a_{25}+a_{26}=2a_{1}+49r$$
Wiemy już jaka jest wartość wyrażenia \(2a_{1}+49r\), zatem możemy zapisać, że:
$$a_{25}+a_{26}=50$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2017
Ciąg \((a, b, c)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(2\), a ciąg \((d, e, f)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(4\). Różnica ciągu arytmetycznego \((a+d, b+e, c+f)\) wynosi:
A\(-6\)
B\(-2\)
C\(2\)
D\(6\)
Krok 1. Rozpisanie wyrazów pierwszego i drugiego ciągu.
Bazując na informacjach z treści zadania możemy zapisać, że:
$$a=x$$
$$b=x+2$$
$$c=x+2+2=x+4$$
$$d=y$$
$$e=y+4$$
$$f=y+4+4=y+8$$
Z tego wynika, że w naszym docelowym trzecim ciągu będziemy mieć następującą sytuację:
$$a+d=x+y$$
$$b+e=x+2+y+4=x+y+6$$
$$c+f=x+4+y+8=x+y+12$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(x+y\), a drugi wyraz jest równy \(x+y+6\), to różnica tego ciągu będzie równa:
$$x+y+6-(x+y)=x+y+6-x-y=6$$
Zadanie nr 31 · Próbny 2017
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(1\), a dwudziesty wyraz tego ciągu jest równy \(13\). Oblicz sumę tych wszystkich wyrazów ciągu, które są mniejsze od \(33\).
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu i różnicy ciągu.
Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{20}=a_{1}+19r$$
Wiemy, że wartość \(a_{2}=1\) oraz że \(a_{20}=13\). Układając więc z tych wszystkich informacji układ równań będziemy w stanie obliczyć wartość \(a_{1}\) oraz \(r\):
$$\begin{cases} a_{1}+r=1 \\ a_{1}+19r=13 \end{cases}$$
Ten układ równań możemy rozwiązać na dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu odjąć te dwa równania stronami, otrzymując:
$$-18r=-12$$
$$r=\frac{2}{3}$$
Znając wartość różnicy ciągu możemy już bez przeszkód obliczyć wartość \(a_{1}\) podstawiając \(r=\frac{2}{3}\) do jednego z równań (np. pierwszego):
$$a_{1}+r=1$$
$$a_{1}+\frac{2}{3}=1$$
$$a_{1}=\frac{1}{3}$$
Krok 2. Zapisanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i znając wartość \(a_{1}=\frac{1}{3}\) oraz \(r=\frac{2}{3}\) możemy zapisać, że wzorem ogólnym naszego ciągu arytmetycznego jest:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
$$a_{n}=\frac{1}{3}+(n-1)\cdot\frac{2}{3}$$
$$a_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n-\frac{2}{3}$$
$$a_{n}=\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}$$
Krok 3. Wyznaczenie liczby wyrazów, które są mniejsze od \(33\).
Chcąc się dowiedzieć ile wyrazów jest mniejszych od \(33\) musimy rozwiązać prostą nierówność:
$$\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}\lt33 \quad\bigg/\cdot3$$
$$2n-1\lt99$$
$$2n\lt100$$
$$n\lt50$$
Otrzymany wynik oznacza, że dopóki \(n\) jest mniejsze od \(50\), to wartość ciągu jest mniejsza od \(33\). To oznacza, że będziemy mieć \(49\) wyrazów mniejszych od \(33\) (będą to wyrazy od pierwszego do czterdziestego dziewiątego).
Krok 4. Obliczenie sumy \(49\) wyrazów ciągu arytmetycznego.
Do obliczenia poszukiwanej sumy skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Znamy wszystkie potrzebne wartości, zatem podstawiając \(a_{1}=\frac{1}{3}\), \(r=\frac{2}{3}\) oraz \(n=49\) otrzymamy:
$$S_{49}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+(49-1)\cdot\frac{2}{3}}{2}\cdot49$$
$$S_{49}=\frac{\frac{2}{3}+48\cdot\frac{2}{3}}{2}\cdot49$$
$$S_{49}=\frac{\frac{2}{3}+32}{2}\cdot49$$
$$S_{49}=\frac{32\frac{2}{3}}{2}\cdot49$$
$$S_{49}=16\frac{1}{3}\cdot49$$
$$S_{49}=800\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 5 · Próbny 2017
Dany jest ciąg \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n}=\frac{2n+1}{n+3}\). Liczby \(a_{3},a_{5}\) są wyrazami tego ciągu, a liczby \((a_{3},x,a_{5})\) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba \(x\) jest równa:
A\(x=\frac{61}{48}\)
B\(x=\frac{61}{96}\)
C\(x=\frac{69}{96}\)
D\(x=\frac{69}{48}\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).
Podstawiając do wzoru \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{3}=\frac{2\cdot3+1}{3+3}$$
$$a_{3}=\frac{6+1}{6}$$
$$a_{3}=\frac{7}{6}$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{5}\).
Podstawiając do wzoru \(n=5\) otrzymamy:
$$a_{5}=\frac{2\cdot5+1}{5+3}$$
$$a_{5}=\frac{10+1}{8}$$
$$a_{5}=\frac{11}{8}$$
Krok 3. Obliczenie wartości \(x\).
Wiemy, że \(a_{3}, x, a_{5}\) są trzema sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego. Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że w takiej sytuacji wartość środkowego z tych trzech wyrazów jest równa średniej arytmetycznej dwóch wyrazów skrajnych, czyli w naszym przypadku:
$$x=\frac{a_{3}+a_{5}}{2}$$
$$2x=a_{3}+a_{5}$$
$$2x=\frac{7}{6}+\frac{11}{8}$$
$$2x=\frac{56}{48}+\frac{66}{48}$$
$$2x=\frac{122}{48}$$
$$x=\frac{61}{48}$$
Zadanie nr 20 · Próbny 2017
Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_{n}=3n^2+4n\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(45\)
B\(31\)
C\(21\)
D\(11\)
Zastanówmy się jak podejść do tego zadania. Gdybyśmy podstawili \(n=5\) do wzoru z treści zadania to uzyskamy odpowiedź na pytanie jaka jest suma pięciu wyrazów tego ciągu, czyli dowiemy się ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\). My chcemy się dowiedzieć ile jest równy konkretnie ten piąty wyraz. Gdybyśmy podstawili \(n=4\), to dowiemy się ile jest równa suma czterech wyrazów tego ciągu, czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\). Jak widać, różnica między sumą pięciu wyrazów i sumą czterech wyrazów jest równa właśnie wartości piątego wyrazu i to będzie klucz do rozwiązania tego zadania.
Krok 1. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów.
Podstawiając do wzoru \(S_{n}=3n^2+4n\) wartość \(n=5\) otrzymamy:
$$S_{5}=3\cdot5^2+4\cdot5$$
$$S_{5}=3\cdot25+20$$
$$S_{5}=75+20$$
$$S_{5}=95$$
Krok 2. Obliczenie sumy czterech początkowych wyrazów.
Podstawiając teraz \(n=4\) otrzymamy:
$$S_{4}=3\cdot4^2+4\cdot4$$
$$S_{4}=3\cdot16+16$$
$$S_{4}=48+16$$
$$S_{4}=64$$
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Zgodnie z planem działania, wartość piątego wyrazu będzie równa różnicy między \(S_{5}\) i \(S_{4}\), zatem:
$$a_{5}=S_{5}-S_{4}$$
$$a_{5}=95-64$$
$$a_{5}=31$$
Zadanie nr 28 · Próbny 2017
Wykaż, że jeśli liczby \((3^a,3^b,3^c)\) tworzą ciąg geometryczny, to liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Krok 1. Skorzystanie z własności trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego.
Dla trzech sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy:
$$(3^b)^2=3^a\cdot3^c$$
$$3^{2b}=3^{a+c}$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Otrzymaliśmy równanie w którym po lewej i prawej stronie znajduje się trójka w podstawie potęgi. Skoro tak, to możemy "skrócić" te trójki i zostaje nam proste równanie:
$$2b=a+c$$
$$b=\frac{a+c}{2}$$
Otrzymaliśmy informację, że \(b\) jest równe \(\frac{a+c}{2}\), czyli jest to dokładnie ta sama zależność, która charakteryzuje ciągi arytmetyczne, bowiem w ciągach arytmetycznych dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$b=\frac{a+c}{2}$$
To oznacza, że dowodzenie możemy uznać za skończone.
Zadanie nr 13 · Matura 2017
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), spełniony jest warunek \(2a_{3}=a_{2}+a_{1}+1\). Różnica \(r\) tego ciągu jest równa:
A\(0\)
B\(\frac{1}{3}\)
C\(\frac{1}{2}\)
D\(1\)
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W związku z tym:
$$2a_{3}=a_{2}+a_{1}+1$$
$$2(a_{1}+2r)=a_{1}+r+a_{1}+1$$
$$2a_{1}+4r=2a_{1}+r+1$$
$$3r=1$$
$$r=\frac{1}{3}$$
Zadanie nr 30 · Matura 2017
Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równa \(30\). Ponadto \(a_{30}=30\). Oblicz różnicę tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{30}=\frac{a_{1}+a_{30}}{2}\cdot30$$
$$30=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot30 \quad\bigg/:30$$
$$1=\frac{a_{1}+30}{2}$$
$$2=a_{1}+30$$
$$a_{1}=-28$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{30}=a_{1}+(30-1)r$$
$$a_{30}=a_{1}+29r$$
$$30=-28+29r$$
$$58=29r$$
$$r=2$$
Zadanie nr 12 · Matura 2017
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są: \(a_{1}=5\), \(a_{2}=11\). Wtedy:
A\(a_{14}=71\)
B\(a_{12}=71\)
C\(a_{11}=71\)
D\(a_{10}=71\)
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartości dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=11-5$$
$$r=6$$
Krok 2. Wskazanie wyrazu, którego wartość jest równa \(71\).
Po odpowiedziach widzimy, że tak naprawdę poszukujemy wyrazu, którego wartość jest równa \(71\), czyli \(a_{n}=71\). Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$71=5+(n-1)\cdot6$$
$$66=6n-6$$
$$6n=72$$
$$n=12$$
To oznacza, że pożądaną wartość ma dwunasty wyraz tego ciągu, zatem prawidłową odpowiedzią jest \(a_{12}=71\).
Zadanie nr 31 · Matura 2017
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są: wyraz \(a_{1}=8\) i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu \(S_{3}=33\). Oblicz różnicę: \(a_{16}-a_{13}\).
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to:
$$S_{3}=33$$
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=33$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33$$
$$3\cdot8+3r=33$$
$$24+3r=33$$
$$3r=9$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\).
$$a_{16}=a_{1}+15r$$
$$a_{13}=a_{1}+12r$$
Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(n\) suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest określona wzorem \(S_{n}=2n^2+n\). Wtedy wyraz \(a_{2}\) jest równy:
A\(3\)
B\(6\)
C\(7\)
D\(10\)
Podstawiając \(n=2\) do wzoru na sumę wyrazów obliczymy sumę dwóch pierwszych wyrazów, a podstawiając \(n=1\) otrzymamy tak naprawdę wartość pierwszego wyrazu. Różnica między tymi wynikami będzie więc odpowiadać wartości drugiego wyrazu tego ciągu. Zatem:
$$a_{2}=S_{2}-S_{1}$$
$$a_{2}=2\cdot2^2+2-(2\cdot1^2+1)$$
$$a_{2}=2\cdot4+2-(2\cdot1+1)$$
$$a_{2}=10-3$$
$$a_{2}=7$$
Zadanie nr 31 · Matura 2016
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony jest wzorem \(a_{n}=2016-3n\), dla \(n\ge1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu \((a_{n})\).
Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy \(n=1\), to wyraz jest dodatni i jest równy \(a_{1}=2016-3=2013\). Jednak gdy \(n=1000\) to wyraz jest już ujemny i wynosi \(a_{1000}2016-3000=-984\). Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\gt0$$
$$2016-3n\gt0$$
$$-3n\gt-2016$$
$$-n\gt-672$$
$$n\lt672$$
Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, czyli skoro \(n\lt672\) to będziemy mieli \(671\) wyrazów dodatnich.
Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671$$
$$S_{671}=\frac{(2016-3\cdot1)+(2016-3\cdot671)}{2}\cdot671$$
$$S_{671}=\frac{2013+3}{2}\cdot671$$
$$S_{671}=\frac{2016}{2}\cdot671$$
$$S_{671}=1008\cdot671$$
$$S_{671}=676368$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2016
Dla pewnego kąta ostrego \(α\) trzywyrazowy ciąg \((2sin^2α,\;\sqrt{3}tgα,\;2cos^2α)\) jest arytmetyczny. Miara kąta \(α\) jest równa:
A\(75°\)
B\(60°\)
C\(45°\)
D\(30°\)
Krok 1. Zapisanie równania wynikającego z własności ciągów arytmetycznych.
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że dla trzech następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2sin^2α+2cos^2α}{2}$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Jeżeli teraz w liczniku wyłączymy przed nawias dwójkę i skorzystamy z jedynki trygonometrycznej \(sin^2α+cos^2α=1\) to otrzymamy:
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot(sin^2α+cos^2α)}{2}$$
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot1}{2}$$
$$\sqrt{3}tgα=\frac{2}{2}$$
$$\sqrt{3}tgα=1$$
$$tgα=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Jak spojrzymy na "małą tabelkę trygonometryczną" to takiej wartości jak \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) nie znajdziemy. Wszystko dlatego, że mamy niewymierność w mianowniku, którą musimy usunąć. Moglibyśmy też wybrnąć z tej sytuacji w taki sposób, że obliczylibyśmy przybliżoną wartość \(\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,5774\) i wtedy z dużych tablic odczytalibyśmy, że interesujący nas kąt ma miarę \(30°\).
Aby usunąć niewymierność z mianownika musimy licznik i mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}\), otrzymując:
$$tgα=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}$$
$$tgα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Teraz z małej tabelki trygonometrycznej możemy odczytać, że \(α=30°\).
Zadanie nr 17 · Próbny 2016
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla \(n\ge1\) i taki, że \(a_{1}+a_{2}+a_{3}=18\). Wtedy:
A\(a_{2}=12\)
B\(a_{2}=-3\)
C\(a_{2}=6\)
D\(a_{2}=4\)
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że \(a_{2}=a_{1}+r\) oraz \(a_{3}=a_{1}+2r\), zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=18$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=18$$
$$3a_{1}+3r=18 \quad\bigg/:3$$
$$a_{1}+r=6$$
Wiedząc, że \(a_{1}+r=6\) wiemy, że drugi wyraz tego ciągu jest równy właśnie \(6\).
Zadanie nr 34 · Próbny 2016
Ciąg \((x-3,x,y)\) jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg \((x,y,2y)\) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego oraz wyrazy ciągu geometrycznego.
Krok 1. Ułożenie równań z własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych.
Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$x=\frac{x-3+y}{2}$$
$$2x=x-3+y$$
$$x=-3+y$$
Korzystając z własności ciągów geometrycznych możemy zapisać, że:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$y^2=x\cdot2y$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych dwóch równań możemy ułożyć układ równań:
$$\begin{cases} x=-3+y \\ y^2=x\cdot2y \end{cases}$$
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$y^2=(-3+y)\cdot2y$$
$$y^2=-6y+2y^2$$
$$y^2-6y=0$$
$$y(y-6)=0$$
$$y=0 \quad\lor\quad y=6$$
Rozwiązanie \(y=0\) musimy jednak odrzucić, bo zgodnie z warunkiem zadania ciąg geometryczny ma mieć dodatnie wyrazy, a gdy \(y=0\) to ciąg ma na pewno drugi i trzeci wyraz równy \(0\). Zostaje nam więc \(y=6\).
Teraz musimy dokończyć rozwiązywanie układu równań i wyznaczyć wartość iksa. Podstawiając \(y=6\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$x=-3+y$$
$$x=-3+6$$
$$x=3$$
Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Pozostała nam już tylko formalność, czyli zapisanie wyrazów obydwu ciągów. Podstawiając \(x=3\) oraz \(y=6\) otrzymamy:
Ciąg arytmetyczny \((x-3,x,y) \Rightarrow (0, 3, 6)\)
Ciąg geometryczny \((x,y,2y) \Rightarrow (3, 6, 12)\)
Zadanie nr 31 · Matura 2016
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), w którym \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=2016\) oraz \(a_{5}+a_{6}+a_{7}+...+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_{n})\).
W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$
Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań:
\begin{cases} S_{4}=2016 \\ S_{12}=2016+2016 \end{cases}
Ustalmy skąd wiemy, że \(S_{12}=2016+2016\). Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(2016\) i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa \(2016\). Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa \(2016+2016=4032\).
Dzięki sprytnemu mnożeniu przez \(-3\) pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy:
$$-2016=48r$$
$$r=-42$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{1}\).
Podstawiając \(r=-42\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(a_{1}\):
$$2016=4\cdot a_{1}+6r$$
$$2016=4\cdot a_{1}+6\cdot(-42)$$
$$2016=4\cdot a_{1}-252$$
$$2268=4\cdot a_{1}$$
$$a_{1}=567$$
Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu.
Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
(Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!)
Skoro \(n\) musi być mniejsze od \(14\frac{1}{2}\), to nasz ciąg ma \(14\) dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie \(a_{14}\).
Krok 5. Obliczenie wartości czternastego wyrazu ciągu.
Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
$$a_{14}=567+(14-1)\cdot(-42)$$
$$a_{14}=567+13\cdot(-42)$$
$$a_{14}=567-546$$
$$a_{14}=21$$
Zadanie nr 14 · Matura 2016
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(8\), a różnica tego ciągu jest równa \(-\frac{3}{2}\). Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:
A\(\frac{37}{2}\)
B\(-\frac{37}{2}\)
C\(-\frac{5}{2}\)
D\(\frac{5}{2}\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość czternastego wyrazu oraz różnicę ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu w następujący sposób:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{14}=a_{1}+(14-1)r$$
$$8=a_{1}+13\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)$$
$$8=a_{1}-\frac{39}{2}$$
$$a_{1}=\frac{55}{2}$$
Krok 2. Obliczenie wartości siódmego wyrazu.
Korzystając z tego samego wzoru co przed chwilą obliczymy wartość siódmego wyrazu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{7}=a_{1}+(7-1)r$$
$$a_{7}=\frac{55}{2}+6\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)$$
$$a_{7}=\frac{55}{2}-\frac{18}{2}$$
$$a_{7}=\frac{37}{2}$$
Zadanie nr 6 · Matura 2016
W skończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) pierwszy wyraz \(a_{1}\) jest równy \(7\) oraz ostatni wyraz \(a_{n}\) jest równy \(89\). Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(2016\). Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.
Z treści zadania wynika, że \(a_{1}=7\), \(a_{n}=89\) oraz \(S_{n}=2016\). Podstawiając te dane do wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$2016=\frac{7+89}{2}\cdot n$$
$$2016=\frac{96}{2}\cdot n$$
$$2016=48n$$
$$n=42$$
To oznacza, że nasz ciąg ma \(42\) wyrazy.
Zadanie nr 14 · Matura 2015
Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez \(7\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego ciągu jest liczba:
A\(77\)
B\(84\)
C\(91\)
D\(98\)
Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
W zadaniu wykorzystamy wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Skoro ma to być ciąg składający się z liczb podzielnych przez \(7\), to każda kolejna liczba będzie o \(7\) większa od swojej poprzedniczki, zatem \(r=7\).
Krok 2. Obliczenie wartości dwunastego wyrazu.
Najmniejszą liczbą dwucyfrową podzielną przez \(7\) jest oczywiście \(14\), więc \(a_{1}=14\).
Szukamy wartości dwunastego wyrazu, więc podstawiamy \(n=12\) i dokonujemy obliczeń:
$$a_{12}=a_{1}+(12-1)r$$
$$a_{12}=a_{1}+11r$$
$$a_{12}=14+11\cdot7$$
$$a_{12}=14+77$$
$$a_{12}=91$$
Zadanie nr 13 · Matura 2015
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) dla \(n\ge1\), w którym \(a_{10}=11\) oraz \(a_{100}=111\). Wtedy różnica \(r\) tego ciągu jest równa:
A\(\frac{9}{10}\)
B\(-100\)
C\(\frac{10}{9}\)
D\(100\)
Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{10}=a_{1}+(10-1)r$$
$$a_{10}=a_{1}+9r$$
$$\quad$$
$$a_{100}=a_{1}+(100-1)r$$
$$a_{100}=a_{1}+99r$$
To oznacza, że:
$$a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-(a_{1}+9r)$$
$$a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-a_{1}-9r$$
$$a_{100}-a_{10}=90r$$
Podstawiając teraz do naszego równania wartości setnego i dziesiątego wyrazu otrzymamy:
$$111-11=90r$$
$$100=90r$$
$$r=\frac{100}{90}$$
$$r=\frac{10}{9}$$
Zadanie nr 32 · Matura 2015
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) o różnicy \(r\neq0\) i pierwszym wyrazie \(a_{1}=2\). Pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Oblicz iloraz tego ciągu geometrycznego.
Krok 1. Zapisanie kilku początkowych wyrazów ciagu arytmetycznego i geometrycznego.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(2\), to nasz ciąg przy różnicy \(r\) będzie wyglądał następująco:
$$2,\;2+r,\;2+2r,\;2+3r...$$
Z treści zadania wynika, że pierwszy, drugi i czwarty wyraz tego ciągu arytmetycznego tworzą ciąg geometryczny, czyli nasz ciąg geometryczny wyglądać będzie w ten sposób:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$
Krok 2. Obliczenie wartości różnicy ciągu arytmetycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wynika, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tego równania odpowiednie wyrazy otrzymamy:
$$(2+r)^2=2\cdot(2+3r)$$
$$4+4r+r^2=4+6r$$
$$r^2-2r=0$$
$$r(r-2)=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r-2=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=2$$
Z założeń z treści zadania wynika, że \(r\neq0\). W związku z tym jedynym interesującym nas rozwiązaniem jest \(r=2\).
Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego.
Nasz ciąg geometryczny ma postać:
$$2,\;2+r,\;2+3r$$
Skoro \(r=2\), to znaczy że nasz ciąg geometryczny wygląda następująco:
$$2,\;4,\;8$$
Krok 4. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Iloraz ciągu geometrycznego obliczymy w następujący sposób:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{4}{2}$$
$$q=2$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2015
W ciągu arytmetycznym pierwszy i drugi wyraz są odpowiednio równe: \(1,-2\). Dziewiąty wyraz tego ciągu jest równy
A\(-23\)
B\(23\)
C\(-25\)
D\(25\)
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego i drugiego wyrazu możemy bez problemu obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$-2=1+r$$
$$r=-3$$
Krok 2. Obliczenie wartości dziewiątego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Znając wartość pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu arytmetycznego możemy obliczyć wartość dowolnego wyrazu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{9}=a_{1}+(9-1)r$$
$$a_{9}=a_{1}+8r$$
$$a_{9}=1+8\cdot(-3)$$
$$a_{9}=1-24$$
$$a_{9}=-23$$
Zadanie nr 32 · Próbny 2015
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(4\), a suma kwadratów wyrazu drugiego, czwartego i siódmego jest równa \(702\). Wyznacz ogólny wyraz tego ciągu.
Krok 1. Ułożenie układu równań.
Z treści zadania wynika, że możemy ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases} a_{1}=4 \\ {a_{2}}^2+{a_{4}}^2+{a_{7}}^2=702 \end{cases}$$
Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać wyrazy \(a_{2}\), \(a_{4}\) oraz \(a_{7}\) zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W związku z tym otrzymamy:
$$\begin{cases} a_{1}=4 \\ (a_{1}+r)^2+(a_{1}+3r)^2+(a_{1}+6r)^2=702 \end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Podstawiając \(a_{1}=4\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$(4+r)^2+(4+3r)^2+(4+6r)^2=702$$
$$16+8r+r^2+16+24r+9r^2+16+48r+36r^2=702$$
$$46r^2+80r+48=702$$
$$46r^2+80r-654=0$$
Żadnej z tych wartości odrzucić nie możemy (moglibyśmy odrzucić, gdyby np. podana była informacja o tym że ciąg jest rosnący). W związku z tym zostaje nam \(r_{1}=-\frac{109}{23}\) oraz \(r_{2}=3\).
Krok 4. Wyznaczenie wzoru ogólnego tego ciągu.
Aby wyznaczyć wzór ogólny ciągu wystarczy podstawić \(a_{1}\) oraz \(r\) do wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Z racji tego iż mamy dwie możliwości podstawienia różnicy to otrzymamy dwa rozwiązania tego zadania:
Gdy \(r=-\frac{109}{23}\):
$$a_{n}=4+(n-1)\cdot\left(-\frac{109}{23}\right)$$
$$a_{n}=4+(-\frac{109}{23}n)+\frac{109}{23}$$
$$a_{n}=4-\frac{109}{23}n+\frac{109}{23}$$
$$a_{n}=\frac{92}{23}-\frac{109}{23}n+\frac{109}{23}$$
$$a_{n}=-\frac{109}{23}n+\frac{201}{23}$$
Gdy \(r=3\):
$$a_{n}=4+(n-1)\cdot3$$
$$a_{n}=4+3n-3$$
$$a_{n}=3n+1$$
Zadanie nr 14 · Matura 2015
Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa \(13\). Wynika stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa:
A\(13\)
B\(12\)
C\(7\)
D\(6\)
Wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Porównajmy sobie teraz sumy pierwszego i szóstego wyrazu z sumą wyrazu trzeciego i czwartego:
$$a_{1}+a_{6}=a_{1}+a_{1}+5r=2a_{1}+5r$$
$$a_{3}+a_{4}=a_{1}+2r+a_{1}+3r=2a_{1}+5r$$
Otrzymaliśmy identyczne wartości, co pozwala nam zapisać równość:
$$a_{1}+a_{6}=a_{3}+a_{4}$$
W związku z tym skoro wiemy, że suma pierwszego i szóstego wyrazu jest równa \(13\), to w takim razie suma trzeciego i czwartego wyrazu będzie także równa \(13\).
Zadanie nr 32 · Matura 2015
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), dla \(n\ge1\) taki, że \(a_{5}=18\). Wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj z informacji, która mówi nam że piąty wyraz tego ciągu jest równy \(18\). Dzięki niej spróbujemy zapisać jaka relacja zachodzi między pierwszym wyrazem ciągu i różnicą \(r\).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r$$
$$18=a_{1}+4r$$
$$a_{1}=18-4r$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości trzeciego i trzynastego wyrazu.
Pod wzory ogólne na trzeci i trzynasty wyraz możemy teraz podstawić \(a_{1}=18-4r\), otrzymując w ten sposób:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{3}=18-4r+2r$$
$$a_{3}=18-2r$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{13}=a_{1}+12r$$
$$a_{13}=18-4r+12r$$
$$a_{13}=18+8r$$
W ten sposób pozbyliśmy się we wzorach wartości \(a_{1}\) i dalej będziemy mogli tworzyć równania już tylko z jedną niewiadomą - czyli z różnicą \(r\).
Krok 3. Wyznaczenie wartości różnicy (\(r\)).
Skoro wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to relację między ich wartościami możemy zapisać jako:
$$\require{cancel}
{a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{13}$$
$$(18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r)$$
$$\cancel{324}-\cancel{72r}+4r^2=\cancel{324}+144r-\cancel{72r}-32r^2$$
$$36r^2-144r=0$$
Krok 4. Obliczenie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie różnicy ciągu.
Możemy to równanie obliczyć tradycyjną metodą delty (pamiętaj tylko, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\)). Możemy też zapisać to równanie w postaci iloczynowej, bo jest ona akurat dość prosta (o ile ją zauważymy):
$$36r^2-144r=0$$
$$36r(r-4)=0$$
$$36r=0 \quad\lor\quad r-4=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=4$$
I tu musimy się zastanowić, czy przypadkiem któregoś wyniku nie musimy odrzucić. Nasz ciąg arytmetyczny musi być rosnący, a to z kolei oznacza, że \(r\gt0\). Ta informacja sprawia, że rozwiązanie \(r=0\) odrzucamy i zostaje nam \(r=4\).
Krok 5. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Skoro już znamy wartość różnicy, to możemy wrócić do naszego pierwszego wyrazu i obliczyć jego wartość. Przyda nam się ona do zapisania wzoru ogólnego na \(n\)-ty ciąg wyrazu.
$$a_{1}=18-4r$$
$$a_{1}=18-4\cdot4$$
$$a_{1}=18-16$$
$$a_{1}=2$$
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n-1\) dla \(n\ge1\). Suma stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(9900\)
B\(9950\)
C\(10000\)
D\(10050\)
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Do obliczenia sumy stu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy:
$$a_{n}=2n-1$$
$$a_{1}=2\cdot1-1$$
$$a_{1}=2-1$$
$$a_{1}=1$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem:
$$a_{n}=2n-1$$
$$a_{2}=2\cdot2-1$$
$$a_{2}=4-1$$
$$a_{2}=3$$
W związku z tym:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=3-1$$
$$r=2$$
Krok 3. Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu.
Teraz podstawiając do wzoru \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=100\) (bo mamy obliczyć sumę stu wyrazów) możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{100}=\frac{2\cdot1+(100-1)\cdot2}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{2+99\cdot2}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{2+198}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=\frac{200}{2}\cdot100$$
$$S_{100}=100\cdot100$$
$$S_{100}=10000$$
Zadanie nr 30 · Matura 2015
W siedmiowyrazowym ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest równy \(0\). Udowodnij, że suma wyrazów tego ciągu jest równa \(0\).
Korzystając z tego wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\), możemy zapisać, że:
$$S_{7}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}$$
$$S_{7}=a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+(a_{1}+3r)+(a_{1}+4r)+(a_{1}+5r)+(a_{1}+6r)$$
$$S_{7}=7a_{1}+21r$$
Wiemy, że środkowy (czyli czwarty) wyraz tego ciągu jest równy \(0\), czyli:
$$a_{1}+3r=0$$
$$a_{1}=-3r$$
Podstawiając to do wyznaczonej przed chwilą sumy otrzymamy:
$$S_{7}=7a_{1}+21r$$
$$S_{7}=7\cdot(-3r)+21r$$
$$S_{7}=-21r+21r$$
$$S_{7}=0$$
Zadanie nr 34 · Matura 2015
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) ciągu \((a_{n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_{n})\). Oblicz \(k\).
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases} S_{11}=187 \\ \frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12 \end{cases}
Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{9}=a_{1}+8r$$
$$a_{11}=a_{1}+10r$$
Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \\ \frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12 \end{cases}\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\ \frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3 \end{cases}\begin{cases} a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}\begin{cases} -3a_{1}-15r=-51 \\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}
Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15$$
$$r=3$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36$$
$$3a_{1}+10\cdot3=36$$
$$3a_{1}=6$$
$$a_{1}=2$$
Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$a_{3}=2+2\cdot3$$
$$a_{3}=8$$
Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}$$
$$8^2=2\cdot(3k-1)$$
$$64=6k-2$$
$$66=6k$$
$$k=11$$
Zadanie nr 11 · Matura 2015
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) określonym dla \(n\ge1\) dane są \(a_{1}=-4\) i \(r=2\). Którym wyrazem tego ciągu jest liczba \(156\)?
A\(81\)
B\(80\)
C\(76\)
D\(77\)
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=-4\) oraz \(r=2\). Podstawiając do tego \(a_{n}=156\) wyliczymy który wyraz ma pożądaną przez nas wartość:
$$156=-4+(n-1)\cdot2$$
$$156=-4+2n-2$$
$$156=2n-6$$
$$2n=162$$
$$n=81$$
Zadanie nr 13 · Matura 2014
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest równa \(35\). Pierwszy wyraz \(a_{1}\) tego ciągu jest równy \(3\). Wtedy:
A\(a_{10}=\frac{7}{2}\)
B\(a_{10}=4\)
C\(a_{10}=\frac{32}{5}\)
D\(a_{10}=32\)
Sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Naszym zadaniem jest tak naprawdę wyliczenie wartości dziesiątego wyrazu tego ciągu. Z treści zadania wiemy, że \(S_{n}=35\), oraz że \(a_{1}=3\), zatem bez problemu wyznaczymy poszukiwaną wartość \(a_{10}\):
$$35=\frac{3+a_{10}}{2}\cdot10$$
$$35=(3+a_{10})\cdot5$$
$$35=15+5a_{10}$$
$$20=5a_{10}$$
$$a_{10}=4$$
Zadanie nr 31 · Matura 2014
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{5}=22\) oraz \(a_{10}=47\). Oblicz pierwszy wyraz \(a_{1}\) i różnicę \(r\) tego ciągu.
Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r$$
$$a_{5}=a_{1}+4r$$
$$a_{10}=a_{1}+(10-1)r$$
$$a_{10}=a_{1}+9r$$
Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.
Zgodnie z treścią zadania:
\begin{cases} a_{1}+4r=22 \\ a_{1}+9r=47 \end{cases}
Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$4r-9r=22-47$$
$$-5r=-25$$
$$r=5$$
Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{5}=a_{1}+4r$$
$$22=a_{1}+4\cdot5$$
$$22=a_{1}+20$$
$$a_{1}=2$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2014
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\). Suma częściowa tego ciągu wyraża się wzorem \(S_{n}=5n^2-7n\). Drugi wyraz ciągu jest równy:
A\(4\)
B\(6\)
C\(8\)
D\(10\)
Krok 1. Obliczenie sumy dwóch pierwszych wyrazów.
Podstawiając do wzoru \(n=2\) dowiemy się ile wynosi suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu (czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}\)):
$$S_{n}=5n^2-7n$$
$$S_{2}=5\cdot2^2-7\cdot2$$
$$S_{2}=5\cdot4-7\cdot2$$
$$S_{2}=20-14$$
$$S_{2}=6$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Podstawiając do wzoru \(n=1\) dowiemy się ile wynosi "suma jednego wyrazu", czyli po prostu ile jest równy pierwszy wyraz (czyli \(a_{1}\)) tego ciągu:
$$S_{1}=5n^2-7n$$
$$S_{1}=5\cdot1^2-7\cdot1$$
$$S_{1}=5\cdot1-7\cdot1$$
$$S_{1}=5-7$$
$$S_{1}=-2$$
Krok 3. Obliczenie wartości drugiego wyrazu.
Wiemy już, że \(a_{1}+a_{2}=6\) oraz że \(a_{1}=-2\). W związku z tym \(a_{2}\) jest równe:
$$-2+a_{2}=6$$
$$a_{2}=8$$
Zadanie nr 8 · Próbny 2014
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) o wyrazach: \((-10,-6,-2,...)\). Czterdziesty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(136\)
B\(146\)
C\(156\)
D\(166\)
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Skoro pierwszy wyraz jest równy \(a_{1}=-10\), a drugi wyraz jest równy \(a_{2}=-6\), to różnica ciągu arytmetycznego wynosi:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=-6-(-10)$$
$$r=-6+10$$
$$r=4$$
Krok 2. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu ciągu.
Znamy wartość pierwszego wyrazu, znamy wartość różnicy, zatem możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu korzystając ze wzoru:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{40}=a_{1}+(40-1)r$$
$$a_{40}=a_{1}+39r$$
$$a_{40}=-10+39\cdot4$$
$$a_{40}=-10+156$$
$$a_{40}=-146$$
Zadanie nr 9 · Próbny 2014
Ciągiem arytmetycznym jest ciąg liczb:
A\((2, 4, 8)\)
B\((9, 3, 1)\)
C\((\sqrt{3}, \sqrt{2}, \sqrt{1})\)
D\((\sqrt{4}, \sqrt{1}, \sqrt{0})\)
Aby dowiedzieć się który ciąg jest arytmetyczny moglibyśmy w każdej z odpowiedzi sprawdzić np. kiedy \(a_{3}-a_{2}\) jest równe tyle samo co \(a_{2}-a_{1}\). Tam gdzie w obydwu tych działaniach będzie ten sam wynik, tam będziemy mieć styczność z ciągiem arytmetycznym. Ale nie jest to jedyna metoda. Nieco sprytniejszym sposobem jest wykorzystanie jednej z własności ciągów arytmetycznych, która mówi nam, że:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Jeżeli wskazane w poszczególnych odpowiedziach liczby spełnią tę nierówność, to znaczy że będą one tworzyć ciąg arytmetyczny. Sprawdźmy zatem każdą z odpowiedzi:
Odp. A.
\(4=\frac{2+8}{2}\)
\(4=\frac{10}{2}\)
\(4=5\)
\(L\neq P\)
Odp. B.
\(3=\frac{9+1}{2}\)
\(3=\frac{10}{2}\)
\(3=5\)
\(L\neq P\)
Odp. C.
\(\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{2}\)
\(\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
\(\sqrt{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\)
\(L\neq P\)
Odp. D.
\(\sqrt{1}=\frac{\sqrt{4}+\sqrt{0}}{2}\)
\(1=\frac{2+0}{2}\)
\(1=\frac{2}{2}\)
\(L=P\)
Tylko w czwartej odpowiedzi uzyskaliśmy prawdziwą równość, zatem ciągiem arytmetycznym jest czwarty zestaw liczb.
Zadanie nr 12 · Matura 2014
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), dane są dwa wyrazy: \(a_{2}=11\) i \(a_{4}=7\). Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A\(36\)
B\(40\)
C\(13\)
D\(20\)
Krok 1. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Znając wartość drugiego i czwartego wyrazu możemy obliczyć wartość trzeciego wyrazu:
$$a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2}$$
$$a_{3}=\frac{11+7}{2}$$
$$a_{3}=\frac{18}{2}$$
$$a_{3}=9$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (\(r\)).
Wybieramy dwa kolejne wyrazy i obliczamy różnicę ciągu:
$$r=a_{3}-a_{2}$$
$$r=9-11$$
$$r=-2$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
$$a_{1}=a_{2}-r$$
$$a_{1}=11-(-2)$$
$$a_{1}=11+2$$
$$a_{1}=13$$
Krok 4. Obliczenie wartości czterech pierwszych wyrazów.
Tak naprawdę obliczyliśmy wartości wszystkich czterech kolejnych wyrazów, więc możemy je po prostu do siebie dodać:
$$S_{4}=13+11+9+7=40$$
Liczby \(6, 2x+4, x+26\) w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę \(r\) tego ciągu.
Krok 1. Utworzenie równania i wyliczenie wartości \(x\).
Różnicę ciągu obliczymy odejmując od siebie wartości dwóch kolejnych wyrazów:
$$r=a_{n}-a_{n-1}$$
W naszym przypadku możemy odjąć od drugiego wyrazu pierwszy, ale także od trzeciego wartość wyrazu drugiego. Skoro oba wyniki będą sobie równe, to możemy to zapisać w postaci prostego równania:
$$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$$
$$2x+4-6=x+26-(2x+4)$$
$$2x-2=x+26-2x-4$$
$$3x=24$$
$$x=8$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Wystarczy teraz pod dwa kolejne wyrazy podstawić \(x=8\) (poznając tym samym ich wartości) i korzystając ze wzoru na różnicę otrzymamy:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=2x+4-6$$
$$r=2\cdot8-2$$
$$r=14$$
Zadanie nr 11 · Matura 2014
Liczby \(2, -1, -4\) są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wzór ogólny tego ciągu ma postać:
A\(a_{n}=-3n+5\)
B\(a_{n}=n-3\)
C\(a_{n}=-n+3\)
D\(a_{n}=3n-5\)
Krok 1. Obliczenie wartości różnicy ciągu arytmetycznego \(r\).
Wybierając dwa dowolne kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego bez problemu obliczymy różnicę ciągu.
$$r=a_{2}-a_{1}=-1-2=-3$$
Krok 2. Ustalenie wzoru ogólnego wskazanego ciągu.
Znając wartość pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu możemy ustalić jego wzór w następujący sposób:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$
$$a_{n}=2+(n-1)\cdot(-3)$$
$$a_{n}=2+(-3n)+3$$
$$a_{n}=2-3n+3$$
$$a_{n}=-3n+5$$
Zadanie nr 21 · Matura 2013
Liczby \(7,\;a,\;49\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy \(a\) jest równe:
A\(14\)
B\(21\)
C\(28\)
D\(42\)
W ciągu arytmetycznym trzy kolejne wyrazy tworzą zależność, którą możemy opisać następującym równaniem:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Podstawiając nasze dane do tego wzoru otrzymamy:
$$a=\frac{7+49}{2}$$
$$a=\frac{56}{2}$$
$$a=28$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2013
W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy \(8\), zaś siódmy wyraz tego ciągu jest równy \(14\). Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy:
A\(21\)
B\(23\)
C\(24\)
D\(3\)
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnica między siódmym i piątym wyrazem jest równa \(2r\). To oznacza, że możemy ułożyć następujące równanie:
$$a_{7}-a_{5}=2$$
$$14-8=2r$$
$$2r=6$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości dziesiątego wyrazu.
Nie musimy obliczać wartości pierwszego wyrazu by obliczyć wartość dziesiątego wyrazu. Możemy zapisać, że:
$$a_{10}=a_{7}+3r$$
$$a_{10}=14+3\cdot3$$
$$a_{10}=14+9$$
$$a_{10}=23$$
Zadanie nr 20 · Matura 2013
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) w którym różnica \(r=-2\) oraz \(a_{20}=17\). Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A\(45\)
B\(50\)
C\(55\)
D\(60\)
Wartość pierwszego wyrazu obliczymy korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, w którym znajduje się poszukiwana przez nas wartość \(a_{1}\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{20}=a_{1}+(20-1)r$$
$$17=a_{1}+19\cdot(-2)$$
$$17=a_{1}-38$$
$$a_{1}=55$$
Zadanie nr 13 · Matura 2013
Ciąg \((a_{n})\) określony dla \(n\ge1\) jest arytmetyczny oraz \(a_{3}=10\) i \(a_{4}=14\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A\(a_{1}=-2\)
B\(a_{1}=2\)
C\(a_{1}=6\)
D\(a_{1}=12\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(r\).
Różnicę ciągu arytmetycznego \(r\) obliczymy odejmując od wartości czwartego wyrazu wartość wyrazu trzeciego:
$$r=a_{4}-a_{3}$$
$$r=14-10$$
$$r=4$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Mamy w nim zawartą wartość \(a_{1}\) i jest to nasza jedyna niewiadoma w tym wzorze. Znamy wartość trzeciego wyrazu (oraz czwartego), więc podstawiając do tego wzoru \(n=3\) (lub \(n=4\)) oraz obliczone przed chwilą \(r=4\) otrzymamy:
$$a_{3}=a_{1}+(3-1)r$$
$$10=a_{1}+2\cdot4$$
$$10=a_{1}+8$$
$$a_{1}=2$$
Zadanie nr 28 · Matura 2012
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=3\) oraz \(a_{4}=15\). Podstawiając te informacje do wzoru na czwarty wyraz ciągu arytmetycznego możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{4}=a_{1}+(4-1)r$$
$$15=3+3r$$
$$3r=12$$
$$r=4$$
Krok 2. Obliczenie sumy sześciu początkowych wyrazów ciągu.
Znając wartość różnicy ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu możemy obliczyć sumę dowolnej liczby wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$S_{6}=\frac{2\cdot3+(6-1)\cdot4}{2}\cdot6$$
$$S_{6}=\frac{6+20}{2}\cdot6$$
$$S_{6}=\frac{26}{2}\cdot6$$
$$S_{6}=13\cdot6$$
$$S_{6}=78$$
Zadanie nr 13 · Próbny 2012
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=-2n+1\) dla \(n\ge1\). Różnica tego ciągu jest równa:
A\(-1\)
B\(1\)
C\(-2\)
D\(3\)
Aby obliczyć różnicę tego ciągu wystarczy obliczyć różnicę między wartościami dwóch wyrazów sąsiednich.
Krok 1. Obliczenie wartości ciągu dla \(n=1\) oraz \(n=2\).
$$a_{1}=-2\cdot1+1=-2+1=-1$$
$$a_{2}=-2\cdot2+1=-4+1=-3$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
$$r=a_{2}-a_{1}=-3-(-1)=-2$$
Tak na marginesie, to wyliczona ujemna różnica \(r=-2\) świadczy o tym, że jest to ciąg malejący.
Zadanie nr 7 · Próbny 2012
Dane liczby: \(x=\frac{3}{\sqrt{5}-2},\ y=\frac{12}{\sqrt{5}-1}+1,\ z=3\sqrt{5}+2\) tworzą rosnący ciąg arytmetyczny w kolejności:
A\(z,y,x\)
B\(y,x,z\)
C\(x,y,z\)
D\(z,x,y\)
Naszym zadaniem jest po prostu ustalenie, która z tych liczb jest najmniejsza, a która największa i ustawienie tych liczb w porządku rosnącym. To zadanie nie jest więc w żaden sposób związane z ciągami jako takimi.
Teoretycznie moglibyśmy przyjąć przybliżenie \(\sqrt{5}\approx2,23\) i obliczyć na kalkulatorze wartość każdej z tych liczb. I prawdopodobnie byłaby to najszybsza metoda, bo od razu otrzymalibyśmy, że:
$$x\approx\frac{3}{2,23-2}=\frac{3}{0,23}=13,04$$
$$y\approx\frac{12}{2,23-1}+1=\frac{12}{1,23}+1=9,76+1=10,76$$
$$z\approx3\sqrt{5}+2=3\cdot2,23+2=8,69$$
Gdybyśmy jednak chcieli do tego zadania podejść nieco bardziej matematycznie, to kluczem do sukcesu byłoby po prostu usunięcie niewymierności z każdego z podanych ułamków. Otrzymamy wtedy:
$$x=\frac{3}{\sqrt{5}-2}=\frac{3\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)\cdot(\sqrt{5}+2)}=\frac{3\sqrt{5}+6}{5-4}=\frac{3\sqrt{5}+6}{1}=3\sqrt{5}+6$$
$$y=\frac{12}{\sqrt{5}-1}+1=\frac{12\cdot(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)\cdot(\sqrt{5}+1)}+1=$$
$$=\frac{12\sqrt{5}+12}{5-1}+1=\frac{12\sqrt{5}+12}{4}+1=3\sqrt{5}+3+1=3\sqrt{5}+4$$
$$z=3\sqrt{5}+2$$
Zarówno z pierwszego jak i drugiego sposobu wynika, że najmniejsza jest liczba \(z\), największa to \(x\), zatem ten ciąg tworzą po kolei liczby \(z,y,x\).
Zadanie nr 24 · Próbny 2012
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) drugi wyraz jest równy \(7\), a szósty \(17\). Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Krok 1. Utworzenie układu równań.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$\begin{cases} a_{2}=a_{1}+r \\ a_{6}=a_{1}+5r \end{cases}$$
Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Musimy rozwiązać nasz układ równań. Możemy to zrobić metodą podstawiania (wyznaczając \(a_{1}\) z jednego równania i podstawiając to do drugiego równania), albo też możemy po prostu odjąć te równania stronami otrzymując:
$$-10=-4r$$
$$r=2\frac{1}{2}$$
Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając różnicę ciągu możemy teraz skorzystać z jednego z równań znajdujących się w układzie i możemy wyliczyć tym samym wartość pierwszego wyrazu:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$7=a_{1}+2\frac{1}{2}$$
$$a_{1}=4\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 30 · Matura 2012
Suma \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\) początkowych \(n\) wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest określona wzorem \(S_{n}=n^2-2n\). Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
O analizowanym ciągu wiemy tylko tyle, że jego wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów przyjmuje postać \(S_{n}=n^2-2n\). Możemy ten wzór sprytnie wykorzystać do obliczenia wartości pierwszego wyrazu, bo przecież "suma jednego wyrazu" jest równa wartości \(a_{1}\), zatem podstawiając \(n=1\) otrzymamy:
$$a_{1}=S_{1}$$
$$a_{1}=n^2-2n$$
$$a_{1}=1^2-2\cdot1$$
$$a_{1}=1-2$$
$$a_{1}=-1$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy poznać wartość dwóch kolejnych wyrazów, by móc wyliczyć różnicę tego ciągu, która przyda nam się do wyznaczenia wzoru ciągu. Tym razem do wzoru na sumę podstawimy \(n=2\), co w połączeniu ze znajomością wartości pierwszego wyrazu pozwoli nam wyznaczyć wartość drugiego wyrazu.
$$S_{2}=a_{1}+a_{2}$$
$$2^2-2\cdot2=-1+a_{2}$$
$$4-4=-1+a_{2}$$
$$0=-1+a_{2}$$
$$a_{2}=1$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów obliczamy różnicę tego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=1-(-1)$$
$$r=2$$
Krok 4. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru ogólnego, do którego podstawimy wyliczone wcześniej dane \(a_{1}=-1\) oraz \(r=2\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{n}=-1+(n-1)\cdot2$$
$$a_{n}=-1+2n-2$$
$$a_{n}=2n-3$$
Zadanie nr 17 · Matura 2012
Miary kątów czworokąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(20°\). Najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę:
A\(40°\)
B\(50°\)
C\(60°\)
D\(70°\)
Krok 1. Zapisanie informacji z treści zadania.
Ciąg arytmetyczny charakteryzuje się tym, że każdy kolejny wyraz ciągu jest większy/mniejszy od poprzedniego o wartość różnicy \(r\). W treści zadania mamy podaną tę różnicę i jest ona równa \(r=20°\). To oznacza, że:
I kąt: \(a_{1}\)
II kąt: \(a_{1}+r=a_{1}+20°\)
III kąt: \(a_{1}+2r=a_{1}+40°\)
IV kąt: \(a_{1}+3r=a_{1}+60°\)
Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{1}\), czyli miary najmniejszego kąta tego czworokąta.
Z własności figur geometrycznych wiemy też, że suma wszystkich kątów musi dać wartość równą \(360°\). To pozwoli nam ułożyć równanie, za pomocą którego obliczymy miarę najmniejszego kąta w czworokącie:
$$a_{1}+a_{1}+20°+a_{1}+40°+a_{1}+60°=360°$$
$$4\cdot a_{1}+120°=360°$$
$$4\cdot a_{1}=240°$$
$$a_{1}=60°$$
Zadanie nr 32 · Matura 2012
Ciąg \((9,x,19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x,42,y,z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).
Krok 1. Wyznaczenie wartości wyrazu \(x\).
Skorzystamy z ciągu arytmetycznego i z reguły, która mówi że drugi wyraz ciągu jest wynikiem średniej arytmetycznej pierwszego i trzeciego wyrazu. Całość możemy opisać wzorem:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$x=\frac{9+19}{2}$$
$$x=\frac{28}{2}$$
$$x=14$$
Krok 2. Obliczenie wartości ilorazu \(q\) ciągu geometrycznego.
Podstawiając \(x=14\) do ciągu geometrycznego otrzymamy ciąg \((14,42,y,z)\). Znamy więc wartości dwóch wyrazów stojących obok siebie, a to z kolei pozwoli nam wyznaczyć wartość \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{42}{14}$$
$$q=3$$
Krok 3. Obliczenie wartości wyrazów \(y\) oraz \(z\).
Znając wartość \(q\) bez problemu wyliczymy już dowolny wyraz tego ciągu geometrycznego np. korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu: \(a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}\). Zatem:
$$a_{3}=a_{1}\cdot 3^{3-1}$$
$$y=14\cdot3^2$$
$$y=14\cdot9=126$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{4}=a_{1}\cdot 3^{4-1}$$
$$z=14\cdot3^3$$
$$z=14\cdot27=378$$
Chcąc wyznaczyć np. trzeci wyraz ciągu geometrycznego mogliśmy też po prostu wymnożyć wartość drugiego wyrazu, czyli \(42\) przez iloraz, czyli przez \(3\), otrzymując w ten sposób \(y=126\). Analogicznie obliczylibyśmy czwarty wyraz, mnożąc \(126\) przez \(3\) i otrzymując w ten sposób \(z=378\).
Otrzymaliśmy w ten sposób następujące wyniki: \(x=14\), \(y=126\) oraz \(z=378\).
Zadanie nr 27 · Matura 2011
Liczby \(2x+1\), \(6\), \(16x+2\) są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz \(x\).
Skoro wskazane liczby są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to zajdzie między nimi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Podstawiając dane z treści zadania do powyższego wzoru wyznaczymy poszukiwaną wartość \(x\).
$$6=\frac{2x+1+16x+2}{2}$$
$$6=\frac{18x+3}{2}$$
$$12=18x+3$$
$$18x=9$$
$$x=\frac{1}{2}$$
Zadanie nr 14 · Próbny 2011
Liczby \(x,\;4,\;x+2\) są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x\) jest równa:
A\(2\)
B\(3\)
C\(6\)
D\(1\)
Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że dla trzech kolejnych (niekoniecznie trzech pierwszych) następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy:
$$4=\frac{x+x+2}{2}$$
$$4=\frac{2x+2}{2}$$
$$8=2x+2$$
$$2x=6$$
$$x=3$$
Zadanie nr 13 · Matura 2011
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n-1\) dla \(n\ge1\). Różnica tego ciągu jest równa:
A\(-1\)
B\(1\)
C\(2\)
D\(3\)
Różnicę ciągu arytmetycznego możemy odczytać wprost ze wzoru (to będzie ta liczba stojąca przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\)). Jeżeli jednak nie pamiętamy o tej własności ciągów arytmetycznych, to możemy różnicę ciągu wyznaczyć obliczając dwa następujące po sobie wyrazy (np. pierwszy i drugi).
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Podstawiając \(n=1\) obliczymy wartość pierwszego wyrazu, a podstawiając \(n=2\) obliczymy wartość drugiego wyrazu, zatem:
$$a_{1}=2\cdot1-1=2-1=1$$
$$a_{2}=2\cdot2-1=4-1=3$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Różnica ciągu będzie różnicą między dwoma sąsiednimi wyrazami, zatem:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=3-1$$
$$r=2$$
Zadanie nr 12 · Matura 2011
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) o wyrazach dodatnich. Wtedy:
A\(a_{4}+a_{7}=a_{10}\)
B\(a_{4}+a_{6}=a_{3}+a_{8}\)
C\(a_{2}+a_{9}=a_{3}+a_{8}\)
D\(a_{5}+a_{7}=2a_{8}\)
Jest kilka możliwości rozwiązania tego zadania. W zadaniu zamkniętym (takim jak to) możemy teoretycznie nawet napisać sobie przykładowy ciąg typu \(1,2,3,4...\) i sprawdzić która równość będzie prawdziwa. My rozwiążemy sobie to zadanie chyba najprostszą i najbardziej uniwersalną metodą wykorzystując wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\).
Sprawdźmy teraz każdą z odpowiedzi porównując lewą i prawą stronę danego równania:
Odp. A.
\(L=a_{4}+a_{7}=a_{1}+3r+a_{1}+6r=2a_{1}+9r\)
\(P=a_{10}=a_{1}+9r\)
\(L\neq P\)
Odp. B.
\(L=a_{4}+a_{6}=a_{1}+3r+a_{1}+5r=2a_{1}+8r\)
\(P=a_{3}+a_{8}=a_{1}+2r+a_{1}+7r=2a_{1}+9r\)
\(L\neq P\)
Odp. C.
\(L=a_{2}+a_{9}=a_{1}+1r+a_{1}+8r=2a_{1}+9r\)
\(P=a_{3}+a_{8}=a_{1}+2r+a_{1}+7r=2a_{1}+9r\)
\(L=P\)
Odp. D.
\(L=a_{5}+a_{7}=a_{1}+4r+a_{1}+6r=2a_{1}+10r\)
\(P=2a_{8}=2\cdot(a_{1}+7r)=2a_{1}+14r\)
\(L\neq P\)
Prawidłową zależność otrzymaliśmy jedynie w trzeciej odpowiedzi.
Zadanie nr 27 · Matura 2011
Liczby \(x\), \(y\), \(19\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, przy czym \(x+y=8\). Oblicz \(x\) i \(y\).
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu.
Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$
W związku z tym:
$$a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2}$$
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a{3}}{2}$$
$$y=\frac{x+19}{2}$$
Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań.
Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie \(x+y=8\) z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości \(x\) oraz \(y\):
\begin{cases} y=\frac{x+19}{2} \\ x+y=8 \end{cases}
Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość \(y\). Zatem podstawiając \(y=\frac{x+19}{2}\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$x+\frac{x+19}{2}=8 \quad\bigg/\cdot2$$
$$2x+x+19=16$$
$$3x=-3$$
$$x=-1$$
Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość \(y\) i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania:
$$x+y=8$$
$$-1+y=8$$
$$y=9$$
Zadanie nr 14 · Matura 2010
W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) mamy: \(a_{2}=5\) i \(a_{4}=11\). Oblicz \(a_{5}\).
A\(8\)
B\(14\)
C\(17\)
D\(6\)
Zanim zaczniemy obliczanie, to już na samym wstępie warto zauważyć, że możemy odrzucić odpowiedzi \(A\) oraz \(D\). Dlaczego? Widać wyraźnie, że jest to ciąg arytmetyczny rosnący, więc piąty wyraz nie może być mniejszy niż czwarty. Tak prawdę mówiąc można byłoby to zadanie obliczyć nawet na logikę, bo mamy dość proste liczby, ale obliczmy to sobie wszystko dokładnie, bo nie zawsze będzie można tak łatwo dojść do rozwiązania:
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać jako:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
To oznacza, że:
$$a_{2}=a_{1}+(2-1)r$$
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$\text{oraz}$$
$$a_{4}=a_{1}+(4-1)r$$
$$a_{4}=a_{1}+3r$$
Z racji tego, że znamy wartości drugiego i czwartego wyrazu to możemy stworzyć prosty układ równań z którego wyznaczymy wartość różnicy ciągu.
\begin{cases} a_{1}+r=5 \\ a_{1}+3r=11 \end{cases}
Odejmując to równanie stronami otrzymamy:
$$-2r=-6$$
$$r=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości piątego wyrazu tego ciągu.
Skoro czwarty wyraz ciągu jest równy \(11\), a każdy kolejny jest o \(3\) większy (bo \(r=3\)), to piąty wyraz tego ciągu będzie równy \(11+3=14\).
Zadanie nr 15 · Próbny 2010
W ciągu arytmetycznym \(a_{1}=3\) oraz \(a_{20}=7\). Wtedy suma \(S_{20}=a_{1}+a_{2}+...a_{19}+a_{20}\) jest równa:
A\(95\)
B\(200\)
C\(230\)
D\(100\)
Aby obliczyć sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu arytmetycznego musimy posłużyć się wzorem:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
Obliczamy sumę dwudziestu pierwszy wyrazów ciągu arytmetycznego (czyli \(n=20\)) podstawiając do powyższego wzoru informacje z treści zadania: \(a_{1}=3\) oraz \(a_{20}=7\).
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot n$$
$$S_{n}=\frac{3+7}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=\frac{10}{2}\cdot20$$
$$S_{20}=5\cdot20=100$$
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.