Układy nierówności liniowych — jak znaleźć część wspólną rozwiązań

Układ nierówności to zestaw warunków, które muszą być spełnione jednocześnie. To „jednocześnie” jest sercem tematu: rozwiązaniem układu jest część wspólna rozwiązań poszczególnych nierówności. Kto o tym pamięta, nie pomyli sumy z przecięciem i nie zgubi odpowiedzi.

W tym tekście pokażę prosty, niezawodny schemat: rozwiąż każdą nierówność osobno, zaznacz jej rozwiązanie na osi, a potem odczytaj fragment, który należy do wszystkich naraz. Oś liczbowa robi tu większość pracy za nas.

Każdą nierówność rozwiąż osobno

Zacznij od potraktowania każdej nierówności z osobna, tak jakby była samodzielnym zadaniem. Przekształcasz ją do prostej postaci i wyznaczasz przedział rozwiązań. Na tym etapie nie łączysz jeszcze warunków — chodzi tylko o to, żeby dla każdej nierówności mieć jej własny zbiór rozwiązań.

Pamiętaj o zasadzie odwracania znaku nierówności przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną. To najczęstsze źródło błędów w tym temacie. Gdy każdą nierówność masz sprowadzoną do postaci „x mniejsze od” albo „x większe od”, jesteś gotów do kolejnego kroku.

Zaznacz przedziały na wspólnej osi

Narysuj jedną oś liczbową i nanieś na nią rozwiązania wszystkich nierówności, jedno pod drugim. Każdy warunek zaznaczasz jako przedział albo półprostą, dbając o rodzaj nawiasu: kółko zamknięte dla nierówności nieostrej, otwarte dla ostrej. Wizualne zestawienie od razu pokazuje, gdzie warunki się pokrywają.

Ta jedna oś jest najważniejszym narzędziem tematu. Zamiast żonglować zbiorami w pamięci, patrzysz, w którym miejscu wszystkie zaznaczone przedziały nachodzą na siebie. To ten wspólny fragment będzie rozwiązaniem całego układu.

Odczytaj część wspólną

Rozwiązaniem układu jest przedział, który należy jednocześnie do wszystkich rozwiązań cząstkowych — ich część wspólna. Odczytujesz go jako fragment osi pokryty przez każdy z warunków. Jeśli warunki nakładają się na pewnym odcinku, to on jest odpowiedzią.

Bywa, że część wspólna jest pustym zbiorem — gdy warunki się wykluczają, na przykład jeden wymaga wartości małych, a drugi dużych, bez wspólnego zakresu. To poprawna odpowiedź: układ nie ma rozwiązań. Oś natychmiast to ujawnia, bo nie ma miejsca pokrytego przez wszystkie przedziały.

Uwaga na nawiasy na granicach

Na końcach części wspólnej rodzaj nawiasu dziedziczysz z warunku, który jest w danym miejscu bardziej wymagający. Jeśli jeden warunek dopuszcza punkt graniczny, a drugi go wyklucza, to w części wspólnej punkt jest wykluczony — bo musi spełniać oba warunki naraz.

Dlatego przy przepisywaniu odpowiedzi warto jeszcze raz spojrzeć na oba nawiasy przy każdym końcu przedziału. Ten drobiazg decyduje, czy wynik zapiszesz z nawiasem otwartym, czy domkniętym. W układach nierówności to częste miejsce utraty punktu.

Układ nierówności — procedura

Pięć kroków do poprawnej części wspólnej:

• Rozwiąż każdą nierówność osobno, pamiętając o odwracaniu znaku.
• Nanieś wszystkie rozwiązania na jedną oś liczbową.
• Dbaj o nawiasy: otwarte dla ostrej, domknięte dla nieostrej.
• Odczytaj część wspólną — fragment należący do wszystkich warunków.
• Brak wspólnego fragmentu oznacza brak rozwiązań.

Rozwiązaniem układu nierówności jest część wspólna, nie suma — rysuj wszystkie przedziały na jednej osi i szukaj miejsca, które spełnia każdy warunek.