Jednomiany i sumy algebraiczne — zbiór zadań (klasa 7 SP) — zadania z rozwiązaniami

Jednomian to iloczyn liczby i liter — bez dodawania i odejmowania.

Wyrażenie $5xy$ spełnia ten warunek. Pozostałe są sumami algebraicznymi.

Odpowiedź: B. $5xy$.

Grupujemy osobno wyrazy z $a$ i z $b$:

$$(7a+2a)+(-3b+5b)=9a+2b$$

Odpowiedź: $9a+2b$.

Mnożymy przez $3$ każdy składnik sumy:

$$3\cdot2x+3\cdot5=6x+15$$

Odpowiedź: $6x+15$.

Największy wspólny dzielnik liczb $6$ i $9$ to $3$:

$$6x+9=3(2x+3)$$

Sprawdzenie przez wymnożenie: $3\cdot2x=6x$ oraz $3\cdot3=9$ ✔

Odpowiedź: C. $3(2x+3)$.

Mnożymy osobno współczynniki i osobno litery:

$$2\cdot3=6,\qquad x\cdot x=x^2$$

$$2x\cdot3x=6x^2$$

Uwaga: to mnożenie, więc powstaje $x^2$. Przy dodawaniu $2x+3x$ wyszłoby $5x$.

Odpowiedź: $6x^2$.

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika:

$$5x-2x+7=3x+7$$

Sprawdzenie dla $x=1$: wyjściowo $5-(2-7)=5+5=10$, a po uproszczeniu $3+7=10$ ✔

Odpowiedź: A. $3x+7$.

Mnożymy jednomian przez każdy składnik sumy:

$$2a\cdot3a=6a^2,\qquad 2a\cdot(-4)=-8a$$

$$2a(3a-4)=6a^2-8a$$

Odpowiedź: $6a^2-8a$.

Krok 1 — wspólny czynnik liczbowy. NWD liczb $12$ i $8$ to $4$.

Krok 2 — wspólna litera. Oba wyrazy zawierają co najmniej jedno $x$.

Krok 3 — wyłączamy $4x$:

$$12x^2-8x=4x(3x-2)$$

Sprawdzenie: $4x\cdot3x=12x^2$ oraz $4x\cdot(-2)=-8x$ ✔

Odpowiedź: $4x(3x-2)$.

To wyrazy podobne — mają tę samą część literową $x^2$. Dodajemy tylko współczynniki:

$$(3+5)x^2=8x^2$$

Uwaga: wykładnik nie zmienia się przy dodawaniu. Wynik $8x^4$ powstałby przy mnożeniu $3x^2\cdot5x^2=15x^4$ — ale wtedy współczynniki też by się mnożyły.

Odpowiedź: D. $8x^2$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$4x-8+3x+3$$

Krok 2 — redukujemy:

$$7x-5$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $0+9=9$, a po uproszczeniu $14-5=9$ ✔

Odpowiedź: $7x-5$.

Wspólnym czynnikiem jest $x$. Po jego wyłączeniu z drugiego wyrazu zostaje $1$:

$$x^2+x=x(x+1)$$

Najczęstszy błąd: zapisanie $x(x+0)$ — po wyłączeniu $x$ z wyrazu $x$ zostaje jedynka, a nie zero.

Sprawdzenie: $x\cdot x+x\cdot1=x^2+x$ ✔

Odpowiedź: B. $x(x+1)$.

Podstawiamy $a=-2$, pamiętając o kolejności działań:

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)$$

Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni:

$$(-2)^2=4$$

$$3\cdot4+4=12+4=16$$

Uwaga na drugi składnik: odjęcie liczby ujemnej to dodawanie.

Odpowiedź: $16$.

Mnożymy przez $-3$ każdy z trzech składników:

$$-3\cdot2x=-6x$$

$$-3\cdot(-5y)=+15y$$

$$-3\cdot1=-3$$

$$-6x+15y-3$$

Uwaga: mnożenie przez liczbę ujemną zmienia znak każdego składnika.

Odpowiedź: $-6x+15y-3$.

Wyrazy podobne mają identyczną część literową.

Para $5xy$ i $-xy$ ma tę samą część $xy$, więc redukuje się do $4xy$.

Pozostałe różnią się: potęgą ($x$ i $x^2$), liczbą liter ($ab$ i $a$) albo obecnością litery ($4a$ i $4$).

Odpowiedź: C. $5xy$ i $-xy$.

Krok 1 — pole jako iloczyn boków:

$$P=3a(2a+4)$$

Krok 2 — wymnażamy:

$$3a\cdot2a+3a\cdot4=6a^2+12a$$

Odpowiedź: $P=6a^2+12a$.

Mnożymy współczynniki, a wykładniki przy tej samej literze dodajemy:

$$2\cdot4=8,\qquad x^1\cdot x^2=x^3$$

$$2x\cdot4x^2=8x^3$$

Odpowiedź: A. $8x^3$.

Krok 1 — pierwsze mnożenie:

$$2x(x+3)=2x^2+6x$$

Krok 2 — drugie mnożenie (pamiętamy o minusie przed nim):

$$-x(2x-1)=-2x^2+x$$

Krok 3 — składamy i redukujemy:

$$2x^2+6x-2x^2+x=7x$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $4\cdot5-2\cdot3=20-6=14$, a po uproszczeniu $7\cdot2=14$ ✔

Warto zauważyć: wyrazy z $x^2$ całkowicie się zniosły.

Odpowiedź: $7x$.

Krok 1 — czynnik liczbowy. NWD liczb $15$ i $10$ to $5$.

Krok 2 — czynniki literowe. Oba wyrazy zawierają co najmniej jedno $a$ i jedno $b$, więc wyłączamy $ab$.

Krok 3 — wyłączamy $5ab$:

$$15a^2b-10ab^2=5ab(3a-2b)$$

Sprawdzenie: $5ab\cdot3a=15a^2b$ ✔ oraz $5ab\cdot(-2b)=-10ab^2$ ✔

Zasada: wyłączamy najwyższą potęgę litery, która występuje w każdym wyrazie.

Odpowiedź: $5ab(3a-2b)$.

Krok 1 — obwód to suma boków:

$$O=2x+(3x-1)+(x+5)$$

Krok 2 — redukujemy:

$$O=6x+4$$

Krok 3 — dla $x=4$:

$$6\cdot4+4=28$$

Sprawdzenie przez boki: $8$, $11$ i $9$, a $8+11+9=28$ ✔

Kontrola sensu: wszystkie boki wyszły dodatnie i spełniają nierówność trójkąta ($8+9>11$), więc taki trójkąt istnieje.

Odpowiedź: $O=6x+4$, dla $x=4$ obwód wynosi $28$.

Krok 1 — opuszczamy nawias:

$$3x+6-3x$$

Krok 2 — redukujemy. Wyrazy z $x$ znoszą się nawzajem:

$$6$$

Wniosek. Po uproszczeniu w wyrażeniu nie ma już litery $x$, więc jego wartość nie zależy od tego, co za $x$ podstawimy. ∎

Sprawdzenie na trzech wartościach:

• $x=0$: $3\cdot2-0=6$ ✔
• $x=5$: $3\cdot7-15=21-15=6$ ✔
• $x=-1$: $3\cdot1+3=6$ ✔

Uwaga metodyczna: sprawdzenie kilku liczb sugeruje wynik, ale dowodem jest dopiero przekształcenie algebraiczne z kroków $1$ i $2$.

Odpowiedź: wartość zawsze wynosi $6$.