Czworokąty i pola figur płaskich — zbiór zadań (klasa 7 SP) — zadania z rozwiązaniami

$$P=a\cdot h=12\cdot7=84\ \text{cm}^2$$

Uwaga: w równoległoboku nie dzielimy przez $2$ — to wzór dla trójkąta.

Odpowiedź: C. $84$ cm$^2$.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(9+15)\cdot6}{2}=\frac{144}{2}=72\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $72$ cm$^2$.

Krok 1 — bok. Przekątna kwadratu to $a\sqrt2$:

$$a\sqrt2=10\sqrt2 \quad\Rightarrow\quad a=10\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=100\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: bok $10$ cm, pole $100$ cm$^2$.

Romb ma cztery równe boki. Jego kąty są proste tylko w szczególnym przypadku — wtedy jest kwadratem.

Prostokąt ma kąty proste, ale boki równe tylko parami.

Odpowiedź: B. romb.

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{12\cdot16}{2}=96\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $96$ cm$^2$.

Przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o bokach $9$ i $12$:

$$d=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\ \text{cm}$$

Rozpoznanie: trójka $9$–$12$–$15$.

Odpowiedź: A. $15$ cm.

Krok 1 — kluczowa własność. Przekątne rombu przecinają się w połowie i pod kątem prostym, tworząc cztery przystające trójkąty prostokątne.

Krok 2 — połowa znanej przekątnej:

$$16:2=8\ \text{cm}$$

Krok 3 — druga przyprostokątna (bok rombu jest przeciwprostokątną):

$$\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\ \text{cm}$$

Krok 4 — cała druga przekątna:

$$2\cdot6=12\ \text{cm}$$

Kontrola przez pole: $\frac{16\cdot12}{2}=96$ cm$^2$; to samo pole daje $a\cdot h$, gdzie $h=9{,}6$ cm ✔

Odpowiedź: $12$ cm.

Krok 1 — z wzoru wyznaczamy sumę podstaw:

$$a+b=\frac{2P}{h}=\frac{120}{8}=15\ \text{cm}$$

Krok 2 — druga podstawa:

$$15-7=8\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{(7+8)\cdot8}{2}=60$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: $8$ cm.

Trapez prostokątny ma jedno ramię prostopadłe do obu podstaw, co daje dwa kąty proste — przy tym ramieniu.

Pozostałe dwa kąty sumują się do $180^\circ$, ale żaden nie musi być prosty.

Uwaga: gdyby wszystkie cztery kąty były proste, figura byłaby prostokątem.

Odpowiedź: D. dwa.

Krok 1 — wysokość. Dzieli ona trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej $4$ i przeciwprostokątnej $8$:

$$h=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt3\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\frac{8\cdot4\sqrt3}{2}=16\sqrt3\ \text{cm}^2$$

Kontrola wzorem: $\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{64\sqrt3}{4}=16\sqrt3$ ✔

Odpowiedź: $h=4\sqrt3\approx6{,}93$ cm, $P=16\sqrt3\approx27{,}7$ cm$^2$.

Przekątne trapezu równoramiennego są równe, ale nie muszą być prostopadłe.

Prostopadłe przekątne ma romb i deltoid.

Pozostałe trzy zdania poprawnie opisują trapez równoramienny — jego osią symetrii jest prosta przechodząca przez środki obu podstaw.

Odpowiedź: C. przekątne przecinają się pod kątem prostym.

Krok 1 — model. Drabina, ściana i podłoże tworzą trójkąt prostokątny, w którym drabina jest przeciwprostokątną.

Krok 2 — twierdzenie Pitagorasa:

$$h=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\ \text{m}$$

Rozpoznanie: trójka $3$–$4$–$5$.

Odpowiedź: na wysokości $4$ m.

W deltoidzie przekątne są prostopadłe, więc obowiązuje ten sam wzór co dla rombu:

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{14\cdot9}{2}=63\ \text{cm}^2$$

Warto zapamiętać: wzór $\frac{ef}{2}$ działa dla każdego czworokąta o prostopadłych przekątnych.

Odpowiedź: $63$ cm$^2$.

Przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o dwóch przyprostokątnych $a$:

$$d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt2$$

Uwaga: $a\sqrt3$ to przekątna sześcianu o krawędzi $a$.

Odpowiedź: A. $a\sqrt2$.

Krok 1 — pole:

$$P=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — druga wysokość. Pole można policzyć na dwa sposoby, więc:

$$6\cdot h=40 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{40}{6}\approx6{,}67\ \text{cm}$$

Obserwacja: wysokość opuszczona na krótszy bok jest dłuższa — to konieczne, żeby iloczyn pozostał stały.

Odpowiedź: pole $40$ cm$^2$, druga wysokość około $6{,}67$ cm.

Sprawdzamy twierdzenie odwrotne do Pitagorasa:

$$6^2+8^2=36+64=100=10^2 \ ✔$$

Skoro równość zachodzi, trójkąt jest prostokątny — kąt prosty leży naprzeciw najdłuższego boku.

Odpowiedź: B. prostokątny.

Krok 1 — odcinek odcięty przy dłuższej podstawie. Różnica podstaw dzieli się równo na obie strony:

$$\frac{12-6}{2}=3\ \text{cm}$$

Krok 2 — wysokość (ramię jest przeciwprostokątną):

$$h=\sqrt{25-9}=4\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole:

$$P=\frac{(12+6)\cdot4}{2}=36\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — obwód:

$$O=12+6+5+5=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $h=4$ cm, $P=36$ cm$^2$, $O=28$ cm.

Krok 1 — droga wzdłuż boków:

$$30+40=70\ \text{m}$$

Krok 2 — przekątna:

$$d=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\ \text{m}$$

Krok 3 — oszczędność:

$$70-50=20\ \text{m}$$

Rozpoznanie: trójka $30$–$40$–$50$, czyli $3$–$4$–$5$ pomnożona przez $10$.

Odpowiedź: zaoszczędzi $20$ m.

Krok 1 — pole prostokąta:

$$P_1=10\cdot6=60\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{6\cdot8}{2}=24\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole łączne:

$$P=60+24=84\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — przeciwprostokątna trójkąta:

$$c=\sqrt{36+64}=10\ \text{cm}$$

Krok 5 — obwód figury. Bok stykowy ($6$ cm) leży wewnątrz, więc go nie liczymy. Obwód tworzą: dwa dłuższe boki prostokąta, jego drugi krótszy bok oraz dwa boki trójkąta:

$$O=10+10+6+8+10=44\ \text{cm}$$

Odpowiedź: pole $84$ cm$^2$, obwód $44$ cm.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole rombu:

$$P_2=a\cdot h=6\cdot3=18\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — porównanie:

$$\frac{36}{18}=2$$

Kwadrat ma pole dwa razy większe.

Wyjaśnienie. Obie figury mają identyczne boki i ten sam obwód ($24$ cm), ale różne pola. Romb jest „spłaszczony" — im mniejszy kąt ostry, tym mniejsza wysokość, a więc i pole. Kwadrat to romb o kącie $90^\circ$, czyli przypadek o największym możliwym polu przy danym boku.

Wniosek ogólny: równy obwód nie oznacza równego pola.

Odpowiedź: kwadrat $36$ cm$^2$, romb $18$ cm$^2$ — dwukrotna różnica.