Krok 1 — mnożymy bez przecinków:

$$4\cdot3=12$$

Krok 2 — liczymy miejsca po przecinku. Pierwszy czynnik ma jedno, drugi też jedno, więc razem dwa:

$$0{,}4\cdot0{,}3=0{,}12$$

Kontrola sensu: mnożymy dwie liczby mniejsze od $1$, więc wynik musi być mniejszy od każdej z nich. Odpowiedzi A i D można odrzucić bez liczenia.

Odpowiedź: B. $0{,}12$.

Krok 1 — mnożymy jak liczby całkowite:

$$25\cdot12=300$$

Krok 2 — miejsca po przecinku. Każdy czynnik ma po jednym, więc razem dwa:

$$3{,}00=3$$

Sprawdzenie inną drogą: $2{,}5\cdot1{,}2=2{,}5+2{,}5\cdot0{,}2=2{,}5+0{,}5=3$ ✔

Odpowiedź: $3$.

Zasada: aby podzielić przez ułamek dziesiętny, mnożymy obie liczby przez $10$, $100$ lub $1000$ tak, aby dzielnik stał się liczbą całkowitą.

Krok 1 — mnożymy obie liczby przez $10$:

$$4{,}8:0{,}6=48:6$$

Krok 2 — dzielimy:

$$48:6=8$$

Sprawdzenie mnożeniem: $0{,}6\cdot8=4{,}8$ ✔

Odpowiedź: $8$.

Mnożenie przez $100$ przesuwa przecinek o dwa miejsca w prawo:

$$3{,}7 \ \to \ 37 \ \to \ 370$$

Gdy zabraknie cyfr, dopisujemy zera — tutaj po siódemce dopisaliśmy jedno zero.

Reguła: mnożenie przez $10$, $100$, $1000$ przesuwa przecinek w prawo o tyle miejsc, ile jest zer; dzielenie — w lewo.

Odpowiedź: D. $370$.

Dzielenie przez $1000$ przesuwa przecinek o trzy miejsca w lewo:

$$56{,}4 \ \to \ 5{,}64 \ \to \ 0{,}564 \ \to \ 0{,}0564$$

Brakujące miejsca uzupełniamy zerami przed liczbą.

Kontrola sensu: dzielimy przez dużą liczbę, więc wynik musi być znacznie mniejszy od $56{,}4$ ✔

Odpowiedź: $0{,}0564$.

Kreska ułamkowa oznacza dzielenie, więc dzielimy licznik przez mianownik:

$$3:8=0{,}375$$

Jak to policzyć pisemnie: $3$ nie dzieli się przez $8$, więc dopisujemy przecinek i zera. $30:8=3$ reszty $6$; $60:8=7$ reszty $4$; $40:8=5$ bez reszty.

Sprawdzenie: $0{,}375\cdot8=3$ ✔

Odpowiedź: $\frac38=0{,}375$.

Krok 1 — zapisujemy jako ułamek o mianowniku będącym potęgą dziesiątki. Po przecinku są dwie cyfry, więc mianownikiem jest $100$:

$$0{,}25=\frac{25}{100}$$

Krok 2 — skracamy przez $25$:

$$\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$$

Warto zapamiętać: $0{,}5=\frac12$, $0{,}25=\frac14$, $0{,}75=\frac34$, $0{,}2=\frac15$, $0{,}125=\frac18$.

Odpowiedź: A. $\frac14$.

Kluczowa zasada: przy dodawaniu pisemnym wyrównujemy przecinki, a nie ostatnie cyfry. Brakujące miejsca uzupełniamy zerami:

$$7{,}45+2{,}80$$

Dodajemy kolumnami od prawej:

$$7{,}45+2{,}80=10{,}25$$

Częsty błąd: dopisanie $2{,}8$ „do prawej” i policzenie $7{,}45+0{,}28$. Zera dopisujemy zawsze na końcu części dziesiętnej, bo $2{,}8=2{,}80$.

Odpowiedź: $10{,}25$.

Krok 1 — uzupełniamy zerami, aby liczby miały tyle samo miejsc po przecinku:

$$10{,}00-3{,}47$$

Krok 2 — odejmujemy pisemnie z pożyczkami:

$$10{,}00-3{,}47=6{,}53$$

Sprawdzenie dodawaniem: $6{,}53+3{,}47=10{,}00$ ✔

Odpowiedź: $6{,}53$.

Krok 1 — uzupełniamy zerami do jednakowej liczby miejsc po przecinku:

$$0{,}400,\qquad 0{,}390,\qquad 0{,}450,\qquad 0{,}399$$

Krok 2 — teraz porównujemy jak liczby całkowite:

$$390<399<400<450$$

Największa jest więc $0{,}45$.

Częsty błąd: uznanie $0{,}399$ za największą, bo „ma najwięcej cyfr”. Liczba cyfr po przecinku nie decyduje o wielkości.

Odpowiedź: C. $0{,}45$.

Kolejność działań: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Krok 1 — mnożenie:

$$3{,}2\cdot0{,}5=1{,}6$$

(mnożenie przez $0{,}5$ to to samo co dzielenie przez $2$)

Krok 2 — dodawanie:

$$2{,}5+1{,}6=4{,}1$$

Częsty błąd: liczenie od lewej, czyli $(2{,}5+3{,}2)\cdot0{,}5=2{,}85$. Mnożenie ma pierwszeństwo przed dodawaniem.

Odpowiedź: $4{,}1$.

Sposób 1 — mnożenie:

$$32{,}40\cdot0{,}25=8{,}10\ \text{zł}$$

Sposób 2 — przez ułamek zwykły. Ponieważ $0{,}25=\frac14$, wystarczy podzielić cenę przez $4$:

$$32{,}40:4=8{,}10\ \text{zł}$$

Drugi sposób jest w tym wypadku znacznie szybszy — warto rozpoznawać typowe ułamki.

Kontrola sensu: ćwierć kilograma to niecałe $10$ zł przy cenie ponad $32$ zł za kilogram — wynik jest wiarygodny.

Odpowiedź: zapłacimy $8{,}10$ zł.

Krok 1 — mnożymy obie liczby przez $100$, aby dzielnik stał się całkowity:

$$0{,}9:0{,}03=90:3$$

Krok 2 — dzielimy:

$$90:3=30$$

Kontrola sensu: dzielimy przez liczbę mniejszą od $1$, więc wynik musi być większy od dzielnej. To eliminuje odpowiedzi A i C bez liczenia.

Sprawdzenie: $0{,}03\cdot30=0{,}9$ ✔

Odpowiedź: B. $30$.

Sposób 1 — rozszerzenie do mianownika $100$. Mnożymy licznik i mianownik przez $5$:

$$\frac{7}{20}=\frac{7\cdot5}{20\cdot5}=\frac{35}{100}=0{,}35$$

Sposób 2 — dzielenie pisemne:

$$7:20=0{,}35$$

Kiedy pierwszy sposób działa: gdy mianownik da się rozszerzyć do $10$, $100$ lub $1000$ — czyli gdy po skróceniu zawiera tylko czynniki $2$ i $5$. Dla $\frac13$ to niemożliwe i otrzymamy rozwinięcie okresowe $0{,}(3)$.

Odpowiedź: $\frac{7}{20}=0{,}35$.

Kolejność działań: najpierw nawias, potem dzielenie.

Krok 1 — odejmowanie w nawiasie:

$$4{,}5-1{,}8=2{,}7$$

Krok 2 — dzielenie. Mnożymy obie liczby przez $10$:

$$2{,}7:0{,}9=27:9=3$$

Sprawdzenie: $0{,}9\cdot3=2{,}7$ ✔

Odpowiedź: $3$.

Krok 1 — znajdujemy cyfrę części dziesiętnych. To pierwsza cyfra po przecinku, czyli $6$.

Krok 2 — patrzymy na cyfrę następną. Jest nią $8$.

Krok 3 — stosujemy regułę: cyfra $5$ lub większa oznacza zaokrąglenie w górę:

$$7{,}682 \approx 7{,}7$$

Uwaga: patrzymy tylko na jedną następną cyfrę. Nie zaokrąglamy stopniowo ($7{,}682\to7{,}68\to7{,}7$ przypadkiem daje tu ten sam wynik, ale bywa, że nie).

Odpowiedź: A. $7{,}7$.

Krok 1 — mnożymy bez przecinków:

$$680\cdot25=17\,000$$

Krok 2 — liczymy miejsca po przecinku. Pierwsza liczba ma dwa, druga jedno, więc razem trzy:

$$17{,}000=17\ \text{zł}$$

Sprawdzenie inną drogą: $2$ litry to $13{,}60$ zł, a pół litra to $3{,}40$ zł. Razem $13{,}60+3{,}40=17$ zł ✔

Odpowiedź: zapłacimy $17$ zł.

Krok 1 — sprowadzamy wszystko do ułamków dziesiętnych:

$$0{,}7,\qquad \frac34=0{,}75,\qquad 0{,}68,\qquad \frac{7}{10}=0{,}7$$

Krok 2 — uzupełniamy zerami i porównujemy:

$$0{,}68<0{,}70=0{,}70<0{,}75$$

Ważna obserwacja: $0{,}7$ i $\frac{7}{10}$ to ta sama liczba zapisana na dwa sposoby — są równe, więc kolejność między nimi jest dowolna.

Odpowiedź: $0{,}68 < 0{,}7 = \frac{7}{10} < \frac34$.

Krok 1 — koszt jabłek:

$$1{,}5\cdot4{,}20=6{,}30\ \text{zł}$$

Krok 2 — koszt gruszek:

$$0{,}8\cdot6{,}50=5{,}20\ \text{zł}$$

Krok 3 — razem:

$$6{,}30+5{,}20=11{,}50\ \text{zł}$$

Krok 4 — reszta:

$$20-11{,}50=8{,}50\ \text{zł}$$

Sprawdzenie: $11{,}50+8{,}50=20$ zł ✔

Odpowiedź: mama zapłaciła $11{,}50$ zł i dostała $8{,}50$ zł reszty.

Krok 1 — dzielimy, mnożąc obie liczby przez $10$:

$$45{,}5:0{,}7=455:7=65$$

Krok 2 — sprawdzamy resztę:

$$65\cdot0{,}7=45{,}5$$

Dzielenie wyszło bez reszty, więc cała woda zmieściła się w butelkach i nic nie zostało.

Uwaga praktyczna: gdyby dzielenie nie wyszło równo, liczbę pełnych butelek zaokrąglamy w dół, a resztę liczymy jako różnicę — butelka napełniona częściowo nie liczy się jako pełna.

Odpowiedź: napełniono $65$ butelek, woda nie została.