Kombinatoryka: reguła mnożenia i silnia — zestaw ćwiczeniowy (LO) — zadania z rozwiązaniami

$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

Odpowiedź: C. $24$.

$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$$

Odpowiedź: $120$.

Jeśli pierwszą czynność można wykonać na $m$, a drugą na $n$ sposobów, to razem na $m\cdot n$ sposobów.

Odpowiedź: A. mnożymy.

Każda z dwóch pozycji ma $3$ możliwości (reguła mnożenia):

$$3\cdot3=9$$

Odpowiedź: $9$ kodów.

To liczba permutacji $4$ elementów:

$$4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

Rozumowanie: pierwsze miejsce $4$ możliwości, drugie $3$, trzecie $2$, ostatnie $1$.

Odpowiedź: $24$ sposoby.

$$\frac{6!}{5!}=\frac{6\cdot5!}{5!}=6$$

Odpowiedź: B. $6$.

Reguła mnożenia:

$$3\cdot4=12$$

Odpowiedź: $12$ zestawów.

Reguła mnożenia z malejącą liczbą możliwości (cyfry się nie powtarzają):

$$4\cdot3\cdot2=24$$

Odpowiedź: $24$ liczby.

Z definicji przyjmujemy $0!=1$.

Odpowiedź: D. $1$.

Permutacje $3$ osób:

$$3!=6$$

Odpowiedź: $6$ sposobów.

To liczba permutacji: $n!$.

Odpowiedź: A. $n!$.

Każdy rzut ma $2$ wyniki (reguła mnożenia):

$$2\cdot2\cdot2=2^3=8$$

Odpowiedź: $8$ wyników.

$$\frac{7!}{5!}=\frac{7\cdot6\cdot5!}{5!}=7\cdot6=42$$

Odpowiedź: $42$.

Trzy różne litery: $3!=6$ przestawień.

Odpowiedź: C. $6$.

Reguła mnożenia. Każda z $4$ pozycji ma $10$ możliwości ($0$–$9$):

$$10\cdot10\cdot10\cdot10=10^4=10\,000$$

Odpowiedź: $10\,000$ kodów.

$$3!\cdot2!=6\cdot2=12$$

Odpowiedź: B. $12$.

Krok 1 — sklejamy dwie książki w „blok”. Mamy wtedy $4$ obiekty do ustawienia: $4!=24$ sposoby.

Krok 2 — wewnątrz bloku dwie książki można zamienić miejscami: $2!=2$.

Krok 3 — reguła mnożenia:

$$4!\cdot2!=24\cdot2=48$$

Odpowiedź: $48$ sposobów.

Krok 1 — warunek parzystości. Ostatnia cyfra musi być parzysta: $2$ lub $4$ — $2$ możliwości.

Krok 2 — pozostałe trzy pozycje z pozostałych $3$ cyfr (różne): $3!=6$ sposobów.

Krok 3 — reguła mnożenia:

$$2\cdot3!=2\cdot6=12$$

Odpowiedź: $12$ liczb.

Reguła mnożenia z malejącą liczbą osób (funkcje rozróżnialne, osoby się nie powtarzają):

$$5\cdot4\cdot3=60$$

Uwaga. Kolejność (funkcja) ma znaczenie — to wariacja, nie kombinacja.

Odpowiedź: $60$ sposobów.

Krok 1 — rozpisujemy definicję silni:

$$n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1$$

Krok 2 — grupujemy. Iloczyn wszystkich czynników poza pierwszym to właśnie $(n-1)!$:

$$n!=n\cdot\underbrace{(n-1)\cdot(n-2)\cdots1}_{(n-1)!}=n\cdot(n-1)! \qquad ∎$$

Krok 3 — zastosowanie. Dla $n=10$: $10!=10\cdot9!$, więc:

$$\frac{10!}{9!}=\frac{10\cdot9!}{9!}=10$$

Odpowiedź: $\frac{10!}{9!}=10$.