Jak to rozwiązać — kąt graniczny i geometria trójkątów

Krok 1. Światło wychodzi z kuli tylko tam, gdzie kąt padania na wewnętrzną powierzchnię jest mniejszy od kąta granicznego. Brzegi jasnego łuku (punkty A i B) odpowiadają dokładnie kątowi granicznemu: kąt ∠SBD (= ∠DAS) = α_g.

Krok 2. Kąt graniczny dla przejścia szkło → powietrze:

$\sin\alpha_g=\dfrac{n_p}{n_{sz}}=\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac{2}{3}\;\Rightarrow\;\alpha_g=\arcsin\tfrac{2}{3}\approx 41{,}8^\circ$

Krok 3. Geometria. Trójkąty SBD i ASD są równoramienne (SD = SB = SA = promień kuli), więc kąty przy D są równe α_g. Kąt ∠BDA jest ich sumą:

$\varphi=\angle BDA=2\alpha_g\approx 2\cdot41{,}8^\circ\approx \mathbf{83{,}6^\circ}$

✔ Zgodne z kluczem: φ ≈ 83,6° (≈ 84°).