Zadanie polega na narysowaniu wektora $\vec{E}_2$ po przejściu przez polaryzator $\mathcal{P}_2$, z zachowaniem poprawnego kierunku, zwrotu oraz długości proporcjonalnej do wartości amplitudy.

1. Krok 1: Wyznaczenie amplitudy pola elektrycznego po przejściu przez $\mathcal{P}_1$

   Natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia pola elektrycznego:

   $$I \propto E^2$$

   Po przejściu przez polaryzator $\mathcal{P}_1$ natężenie wynosi $I_1 = \dfrac{1}{2}I$, więc amplituda $E_1$ spełnia:

   $$E_1^2 \propto I_1 = \frac{1}{2}I$$

   Wektor $\vec{E}_1$ jest zorientowany wzdłuż osi polaryzacji $\mathcal{O}_1$ polaryzatora $\mathcal{P}_1$.

2. Krok 2: Zastosowanie prawa Malusa

   Światło padające na polaryzator $\mathcal{P}_2$ jest już spolaryzowane liniowo wzdłuż $\mathcal{O}_1$. Kąt między osią $\mathcal{O}_1$ a osią $\mathcal{O}_2$ wynosi $\alpha$. Zgodnie z prawem Malusa:

   $$I_2 = I_1 \cos^2\!\alpha = \frac{1}{2}I\cos^2\!\alpha$$

   Ponieważ $I \propto E^2$, amplituda po przejściu przez $\mathcal{P}_2$ wynosi:

   $$E_2 = E_1 \cos\alpha$$

   Jest to rzut wektora $\vec{E}_1$ na kierunek osi $\mathcal{O}_2$.

3. Krok 3: Określenie kierunku i zwrotu wektora $\vec{E}_2$

   Polaryzator $\mathcal{P}_2$ przepuszcza wyłącznie składową pola elektrycznego równoległą do swojej osi polaryzacji $\mathcal{O}_2$. Zatem:

   • Kierunek wektora $\vec{E}_2$: wzdłuż osi $\mathcal{O}_2$.
   • Zwrot: zgodny ze zwrotem rzutu $\vec{E}_1$ na oś $\mathcal{O}_2$ (tj. w tę stronę osi $\mathcal{O}_2$, po której leży rzut $\vec{E}_1$).
   • Długość: równa $E_1 \cos\alpha$, czyli krótsza od $E_1$ $\cos\alpha$ razy.
4. Krok 4: Opis rysunku wektora $\vec{E}_2$

   Na rysunku 2. należy:

   1. Zidentyfikować oś $\mathcal{O}_2$ (oś polaryzacji polaryzatora $\mathcal{P}_2$), nachyloną pod kątem $\alpha$ do osi $\mathcal{O}_1$.
   2. Poprowadzić z punktu przyłożenia wektora $\vec{E}_1$ prostopadłą na oś $\mathcal{O}_2$ — stopa tej prostopadłej wskazuje koniec wektora $\vec{E}_2$.
   3. Narysować wektor $\vec{E}_2$ wzdłuż osi $\mathcal{O}_2$, o długości $E_1\cos\alpha$, z grotem skierowanym zgodnie z rzutem $\vec{E}_1$.

   Geometrycznie: $\vec{E}_2$ jest rzutem ortogonalnym $\vec{E}_1$ na kierunek $\mathcal{O}_2$.

Wynik końcowy:

Wektor $\vec{E}_2$ należy narysować wzdłuż osi $\mathcal{O}_2$, z długością:

odpowiadającą rzutowi $\vec{E}_1$ na oś $\mathcal{O}_2$, ze zwrotem zgodnym z kierunkiem tego rzutu. Jest on krótszy od $\vec{E}_1$ $\cos\alpha$ razy i skierowany dokładnie wzdłuż osi polaryzacji $\mathcal{O}_2$ polaryzatora $\mathcal{P}_2$.