Czas \(T\) półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się o połowę – po przyjęciu jednorazowej dawki. Przyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa \(m\) leku w organizmie zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą:

$$m(t)=m_{0}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$$

gdzie:

\(m_{0}\) – masa przyjętej dawki leku

\(T\) – czas półtrwania leku

\(t\) – czas liczony od momentu przyjęcia dawki.



W przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku pozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten sposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację o całkowitej aktualnej masie leku w organizmie. Pacjent otrzymuje co \(4\) dni o tej samej godzinie dawkę \(m_{0}=100 mg\) leku \(L\). Czas półtrwania tego leku w organizmie jest równy \(T=4\) doby.



Zadanie 1.

Wykres zależności masy \(M\) leku \(L\) w organizmie tego pacjenta od czasu \(t\), liczonego od momentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku:

A.

B.

C.

D.



Zadanie 2.

Oblicz masę leku \(L\) w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do \(0,1 mg\). Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:      

1. A.
2. ok. \(99,9mg\)

Rozwiązanie:      
Zadanie 1. Poprawnym wykresem będzie ten z odpowiedzi A. Powiedzmy sobie może jeszcze dlaczego to jest akurat ten wykres. Aby dojść do tej odpowiedzi, musimy zrozumieć istotę samego zadania. Mamy pacjenta, który przyjmuje dawkę omawianego leku i zgodnie ze wzorem, z czasem tego leku jest coraz mniej. Ze wzoru wynika, że spadek ten jest wykładniczy (a nie liniowy, jak odpowiedzi D). W grę wchodzą więc już tylko dwie odpowiedzi - A oraz B (odpowiedź C odrzucamy, ponieważ w odpowiedzi C mamy funkcję rosnącą). No i teraz najważniejsze pytanie - skąd się biorą trzy fragmenty wykresu? Wynika to z faktu dodawania kolejnej dawki leki, co tym samym powoduje skokowe zwiększenie dawki leku w organizmie. Jeżeli więc pacjent po \(4\) dobach ma w swoim organizmie \(50mg\) leku i dostaje kolejną dawkę \(100mg\), to w czwartej dobie wartość ta skacze mu do \(150mg\), dokładnie tak jak na wykresie z odpowiedzi A. Zadanie 2. Krok 1. Analiza ilości leku w organizmie pacjenta. Musimy sobie uzmysłowić, że przed przyjęciem jedenastej dawki tego leku, pacjent będzie miał śladowe ilości pierwszej dawki (śladowe, bo wraz z upływem czasu tego leku w organizmie jest coraz mniej), nieco większe drugiej dawki i całkiem spore wartości dziewiątej czy też dziesiątej dawki. Musimy też dostrzec, że termin "przed przyjęciem jedenastej dawki" oznacza, że od pierwszej dawki upłynęło \(t=40\) dni, a od dawki dziesiątej upłynęły raptem \(t=4\) dni. Zapiszmy zatem ile każdej z dawek zostało temu pacjentowi w organizmie, zaczynając może od najnowszej, czyli dziesiątej dawki. Pacjent otrzyma jedenastą dawkę leku po upływie \(4\) dni od przyjęcia dziesiątej dawki. To oznacza, że z dziesiątej dawki w organizmie zostanie: $$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{4}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{1}=50$$ W orgazmie pacjenta jest jeszcze np. lek z dziewiątej dawki, który był podany \(8\) dni wcześniej. Tego leku w organizmie pacjenta będzie: $$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{8}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=100\cdot\frac{1}{4}=25$$ Z ósmej dawki zostanie: $$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=100\cdot\frac{1}{8}=12,5$$ I tak analogicznie możemy rozpisywać kolejne dawki, aż dojdziemy do pierwszej, która była \(40\) dni wcześniej, zatem z tej dawki zostało: $$100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{4}{4}}=100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{10}$$ Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich dawek leku. Naszym celem jest teraz zsumowanie tych wszystkich dawek. Widzimy wyraźnie, że kolejne dawki leku tworzą ciąg geometryczny, w którym \(a_{1}=50\) oraz \(q=\frac{1}{2}\). Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, możemy zapisać, że: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\ S_{10}=50\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}} \           ,\ S_{10}=50\cdot\frac{1-\frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} \           ,\ S_{10}=50\cdot\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}} \           ,\ S_{10}=50\cdot\frac{1023}{1024}:\frac{1}{2} \           ,\ S_{10}=\frac{51150}{1024}:\frac{1}{2} \           ,\ S_{10}=\frac{51150}{1024}\cdot2 \           ,\ S_{10}=\frac{51150}{512} \           ,\ S_{10}\approx99,9$$ To oznacza, że przed przyjęciem jedenastej dawki nasz pacjent ma w organizmie około \(99,9mg\) leku.

Teoria:      
W trakcie opracowania