Rozwiąż równanie: \(\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2\)

Odpowiedź:      

\(x=-\frac{1}{3}\) oraz \(x=1\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń. Jak to w równaniach wymiernych zazwyczaj bywa - musimy zacząć od wypisania założeń. Wartość w mianowniku nie może być równa zero, stąd też: $$3x-2\neq0 \           ,\ 3x\neq2 \           ,\ x\neq\frac{2}{3}$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron równania przez to, co znalazło się w mianowniku, czyli \(3x-2\), zatem: $$\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2 \quad\bigg/\cdot(3x-2) \           ,\ 6x-1=(3x+2)(3x-2)$$ Po prawej stronie otrzymaliśmy mnożenie, w którym możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Możemy więc zapisać, że: $$6x-1=(3x)^2-2^2 \           ,\ 6x-1=9x^2-4 \           ,\ 9x^2-6x-3=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem korzystając z delty możemy zapisać, że: Współczynniki: \(a=9,\;b=-6,\;c=-3\) $$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot9\cdot(-3)=36-(-108)=36+108=144 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-12}{2\cdot9}=\frac{6-12}{18}=\frac{-6}{18}=-\frac{1}{3} \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+12}{2\cdot9}=\frac{6+12}{18}=\frac{18}{18}=1$$ Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników. Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się z założeniami. W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(x\neq\frac{2}{3}\) i akurat w tym przypadku to założenie nie wpływa na rozwiązanie zadania. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem naszego równania są dwie liczby: \(x=-\frac{1}{3}\) oraz \(x=1\).

Teoria:      
W trakcie opracowania