Rozwiąż równanie: \(\frac{3x+2}{3x-2}=4-x\)

Odpowiedź:      

\(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie założeń. Rozwiązywanie zadania powinniśmy zacząć od zapisania założeń. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, więc wartość z mianownika powinna być różna od zera. W związku z tym: $$3x-2\neq0 \           ,\ 3x\neq2 \           ,\ x\neq\frac{2}{3}$$ Krok 2. Rozwiązanie równania. Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika, czyli przez \(3x-2\). Otrzymamy wtedy: $$\frac{3x+2}{3x-2}=4-x \quad\bigg/\cdot(3x-2) \           ,\ 3x+2=(4-x)(3x-2) \           ,\ 3x+2=12x-8-3x^2+2x \           ,\ 3x+2=-3x^2+14x-8 \           ,\ 3x^2-11x+10=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=3,\;b=-11,\;c=10\) $$Δ=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot3\cdot10=121-120=1 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{11-1}{2\cdot3}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{11+1}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2$$ Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników. Wyszło nam, że \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\), ale to nie koniec zadania. Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się przypadkiem z założeniami z pierwszego kroku. W tym przypadku tak się nie stało, więc obydwa rozwiązania są jak najbardziej prawidłowe. Stąd też możemy zapisać, że ostatecznymi rozwiązaniami równania są \(x=\frac{5}{3}\) oraz \(x=2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania