Rozwiąż równanie \(\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1}\), gdzie \(x\neq-1\) i \(x\neq0\).

Odpowiedź:      

\(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wymnożenie wyrazów "na krzyż". Rozwiązywanie tego typu równań najprościej jest rozpocząć od wymnażania na krzyż, zatem: $$\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1} \           ,\ (2x+1)\cdot(x+1)=(2x)\cdot(2x+1)$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania. Teraz możemy rozwiązać to równanie na dwa sposoby: I sposób: Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą i jednocześnie dostrzegając, że całość da się zapisać w postaci iloczynowej. Otrzymamy wtedy: $$(2x+1)\cdot(x+1)-(2x)\cdot(2x+1)=0 \           ,\ (2x+1)(x+1-2x)=0 \           ,\ (2x+1)(-x+1)=0 \           ,\ 2x+1=0 \quad\lor\quad -x+1=0 \           ,\ x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$ II sposób: Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy i rozwiązując powstałe równanie kwadratowe. $$2x^2+2x+x+1=4x^2+2x \           ,\ -2x^2+x+1=0$$ Współczynniki: \(a=-2,\;b=1,\;c=1\) $$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=1+8=9 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$ Krok 3. Sprawdzenie, czy rozwiązania nie wykluczają się z założeniami. Na koniec jeszcze sprawdzamy, czy nasze rozwiązania nie wykluczają się z założeniami z treści zadania. To wbrew pozorom ważny punkt, bo czasem może być tak, że dane rozwiązanie trzeba będzie odrzucić. W naszym przypadku niczego odrzucać nie musimy, tak więc ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania: $$x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$

Teoria:      
W trakcie opracowania