Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S=(3,-4)\) i prosta \(k\) o równaniu \(2x-y-11=0\).
Okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\) w punkcie \(P\).
Zadanie 1.
Wyznacz i zapisz równanie okręgu \(O\).
Zadanie 2.
Oblicz współrzędne punktu \(P\), w którym okrąg \(O\) jest styczny do prostej \(k\).
Odpowiedź:
1. \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}\)
2. \(P=\left(3\frac{2}{5};-4\frac{1}{5}\right)\)
Rozwiązanie:
Zadanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości promienia.
Do zapisania równania okręgu potrzebujemy długości promienia. Długość promienia będzie równa odległości punktu \(S\) od prostej \(k\), zatem z pomocą przyjdzie nam wzór na odległość punktu od prostej:
$$r=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$
\(A\), \(B\) oraz \(C\), pojawiające się we wzorze, to współczynniki równania prostej zapisanego w postaci ogólnej. Zatem u nas \(A=2\), \(B=-1\) oraz \(C=-11\). Skoro tak, to:
$$r=\frac{|2\cdot3-1\cdot(-4)-11|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} \ ,\
r=\frac{|6-(-4)-11|}{\sqrt{4+1}} \ ,\
r=\frac{|6+4-11|}{\sqrt{5}} \ ,\
r=\frac{|-1|}{\sqrt{5}} \ ,\
r=\frac{1}{\sqrt{5}} \ ,\
r=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \ ,\
r=\frac{\sqrt{5}}{5}$$
Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Wiemy już, że \(r=\frac{\sqrt{5}}{5}\). W treści zadania mamy podane współrzędne środka okręgu, czyli \(S=(3,-4)\). Podstawiając te dane do równania okręgu, otrzymamy:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \ ,\
(x-3)^2+(y-(-4))^2=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 \ ,\
(x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}$$
Zadanie 2.
Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z poprzedniego punktu wiemy, że nasz okrąg wyraża się równaniem \((x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5}\). Naszym zadaniem jest poznanie współrzędnych punktu, który tak naprawdę jest punktem wspólnym okręgu i prostej \(k\), a więc pomocny będzie układ równań:
\begin{cases}
(x-3)^2+(y+4)^2=\frac{1}{5} \ ,\
y=2x-11
\end{cases}
Podstawiając drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$(x-3)^2+(2x-11+4)^2=\frac{1}{5} \ ,\
(x-3)^2+(2x-7)^2=\frac{1}{5} \ ,\
x^2-6x+9+4x^2-28x+49=\frac{1}{5} \ ,\
5x^2-34x+58=\frac{1}{5} \ ,\
5x^2-34x+\frac{290}{5}=\frac{1}{5} \ ,\
5x^2-34x+\frac{289}{5}=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Z pomocą przyjdzie nam oczywiście delta:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-34,\;c=\frac{289}{5}\)
$$Δ=b^2-4ac=(-34)^2-4\cdot5\cdot\frac{289}{5}=1156-1156=0$$
$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-34)}{2\cdot5}=\frac{34}{10}=3\frac{2}{5}$$
Krok 3. Zapisanie współrzędnych punktu \(P\).
Wiemy już, że współrzędna \(x=3\frac{2}{5}\). Potrzebujemy jeszcze współrzędnej \(y\), a obliczymy ją, podstawiając \(x=3\frac{2}{5}\) do jednego z równań z układu (np. równania \(y=2x-11\)), zatem:
$$y=2x-11 \ ,\
y=2\cdot3\frac{2}{5}-11 \ ,\
y=-4\frac{1}{5}$$
To oznacza, że \(P=\left(3\frac{2}{5};-4\frac{1}{5}\right)\).
Teoria:
W trakcie opracowania
