Prosta \(y=x+4\) przecina okrąg o równaniu \((x+1)^2+(y-2)^2=25\) w punktach \(A\) i \(B\). Oblicz współrzędne punktów \(A\) i \(B\), a następnie oblicz obwód trójkąta \(ABS\), gdzie \(S\) jest środkiem danego okręgu.

Odpowiedź:      

\(A=(-5,-1)\), \(B=(2,6)\), \(Ob=10+7\sqrt{2}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie układu równań. Ze wzoru prostej oraz równania okręgu możemy ułożyć następujący układ równań: $$\begin{cases} y=x+4 \           ,\ (x+1)^2+(y-2)^2=25 \end{cases}$$ Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy: $$(x+1)^2+(x+4-2)^2=25 \           ,\ (x+1)^2+(x+2)^2=25 \           ,\ x^2+2x+1+x^2+4x+4=25 \           ,\ 2x^2+6x-20=0 \quad\bigg/:2 \           ,\ x^2+3x-10=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=1,\;b=3,\;c=-10\) $$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot1\cdot(-10)=9-(-40)=9+40=49 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-7}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+7}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$ Krok 3. Zapisanie współrzędnych przecięcia się prostej z okręgiem. Otrzymaliśmy dwie współrzędne iksowe, bo i nasza prosta (zgodnie z treścią zadania) przecina okrąg w dwóch miejscach. To oznacza, że pierwsza współrzędna iksowa należy do punktu \(A\), natomiast druga współrzędna należy do punktu \(B\). Musimy jeszcze obliczyć współrzędne igrekowe, a zrobimy to podstawiając współrzędne iksowe do równania prostej \(y=x+4\): Dla \(x=-5\): \(y=-5+4\) \(y=-1\) Dla \(x=2\): \(y=2+4=6\) To nam daje następujące współrzędne: $$A=(-5;-1),\;B=(2;6)$$ Krok 4. Obliczenie długości promienia. Równanie okręgu o środku w punkcie \(S=(a;b)\) oraz promieniu \(r\) przyjmuje postać: $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ Teraz do tej postaci możemy przyrównać równanie z treści zadania. W naszym równaniu z treści zadania po prawej stronie znalazła się wartość \(25\), zatem jest to nasze \(r^2\). Możemy więc zapisać, że: $$r^2=25 \           ,\ r=5 \quad\lor\quad r=-5$$ Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo promień nie może być ujemny. Krok 5. Sporządzenie rysunku pomocniczego i zapisanie długości boków \(AS\) oraz \(BS\). Z równania okręgu możemy wprost odczytać, że współrzędne środka okręgu to \(S=(-1;2)\). Ta informacja w połączeniu z obliczeniami z kroków poprzednich, czyli długość promienia \(r=5\) oraz współrzędne punktów \(A=(-5;-1),\;B=(2;6)\) pozwoli nam stworzyć następujący rysunek pomocniczy: Z rysunku dość jasno wynika, że odcinki o długości \(AS\) oraz \(AB\) są równe długości promienia, zatem możemy zapisać, że: $$|AS|=5 \           ,\ |BS|=5$$ Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(AB\). Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\). $$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{(2-(-5))^2+(6-(-1))^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{7^2+7^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{49+49} \           ,\ |AB|=\sqrt{49\cdot2} \           ,\ |AB|=7\sqrt{2}$$ Krok 7. Obliczenie długości obwodu. Mamy już wszystkie niezbędne informacje, zatem możemy bez problemu obliczyć długość obwodu: $$Obw=5+5+7\sqrt{2}=10+7\sqrt{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania