W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość \(5\), a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(2\). Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

Odpowiedź:      

\(P=30\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Boki trójkąta są tak naprawdę stycznymi do okręgu, zatem wykorzystując własności stycznych do okręgu możemy stworzyć taki oto rysunek pomocniczy: Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\). Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa: $$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2 \           ,\ (2+x)^2+5^2=(3+x)^2 \           ,\ 4+4x+x^2+25=9+6x+x^2 \quad\bigg/-x^2 \           ,\ 4+4x+25=9+6x \           ,\ 4x+29=9+6x \           ,\ -2x+29=9 \           ,\ -2x=-20 \           ,\ x=10$$ Krok 3. Obliczenie długości boku \(AB\). Skoro \(x=10\), to znaczy że: $$|AB|=2+x \           ,\ |AB|=2+10 \           ,\ |AB|=12$$ Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta. Wiemy już, że podstawa trójkąta ma długość \(12\) i wysokość \(5\), zatem: $$P=\frac{1}{2}ah \           ,\ P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \           ,\ P=6\cdot5 \           ,\ P=30$$

Teoria:      
W trakcie opracowania