Dane są punkty \(A=(2,3)\) oraz \(B=(-6,-3)\). Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny \(ABC\) jest równy:

A \(\frac{20\sqrt{3}}{3}\)
B \(\frac{40\sqrt{3}}{3}\)
C \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\)
D \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\). Znamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), stąd też możemy obliczyć długość boku \(AB\), korzystając ze wzoru: $$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{(-6-2)^2+(-3-3)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{(-8)^2+(-6)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{64+36} \           ,\ |AB|=\sqrt{100} \           ,\ |AB|=10 \quad\lor\quad |AB|=-10$$ Ujemną długość odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AB|=10\). Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\). Skoro trójkąt \(ABC\) jest równoboczny i ma bok długości \(10\), to jego wysokość będzie równa: $$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \           ,\ h=\frac{10\sqrt{3}}{2} \           ,\ h=5\sqrt{3}$$ Krok 3. Obliczenie długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt. Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest równa \(\frac{1}{3}\) jego wysokości, zatem: $$r=\frac{1}{3}h \           ,\ r=\frac{1}{3}\cdot5\sqrt{3} \           ,\ r=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania