Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości \(a\) i \(b\). Punkt \(O\) leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta i jest środkiem okręgu stycznego do przyprostokątnych tego trójkąta (zobacz rysunek).





Wykaż, że promień \(r\) tego okręgu jest równy \(\frac{ab}{a+b}\).

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając z własności stycznych do okręgu i trójkątów podobnych.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Jedną z własności stycznych do okręgu jest to, że promień okręgu tworzy ze styczną kąt prosty. To oznacza, że na rysunku powstanie nam taka oto sytuacja: Co więcej, możemy w takim razie podpisać dwa odcinki jako \(a-r\) oraz \(b-r\): Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych. Powinniśmy teraz zauważyć, że na rysunku mamy tak naprawdę dwa podobne trójkąty prostokątne. Skąd wiemy, że są one podobne? Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt (obydwa mają kąt prosty, obydwa mają wspólny kąt ostry między bokiem \(b\) oraz przeciwprostokątną, zatem i trzecia miara kątów musi być wspólna). Krok 3. Wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów. Korzystając z cech trójkątów podobnych możemy zapisać, że stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta musi być taki sam, jak stosunek długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, zatem: $$\frac{a}{b}=\frac{r}{b-r}$$ Długości boków są zawsze dodatnie, więc bez obaw możemy teraz wykonać mnożenie na krzyż: $$a\cdot(b-r)=br \           ,\ ab-ar=br \           ,\ ab=ar+br \           ,\ ab=r(a+b) \           ,\ r=\frac{ab}{a+b}$$ Otrzymaliśmy pożądaną postać, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Teoria:      
W trakcie opracowania