Okrąg o środku w punkcie \(S=(3,7)\) jest styczny do prostej o równaniu \(y=2x-3\). Oblicz współrzędne punktu styczności.

Odpowiedź:      

\(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Z rysunku musimy dostrzec, że prosta przechodząca przez środek okręgu i punkt \(A\) jest prostopadła do naszej prostej o równaniu \(y=2x-3\) (wynika to bezpośrednio z własności stycznych do okręgu). To będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń. Krok 2. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej do prostej \(y=2x-3\). Aby proste opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(a=2\), to współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej \(p\) będzie równy: $$2\cdot a=-1 \           ,\ a=-\frac{1}{2}$$ Wiemy już, że nasza prosta ma więc postać: \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Krok 3. Obliczenie współczynnika \(b\). Jesteśmy już bardzo blisko poznania pełnego wzoru prostej, brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonego przed chwilą wzoru współrzędne punktu \(S=(3,7)\) przez które ta prosta przechodzi. $$y=-\frac{1}{2}x+b \           ,\ 7=-\frac{1}{2}\cdot3+b \           ,\ 7=-1,5+b \           ,\ b=8\frac{1}{2}$$ Wzór naszej prostej prostopadłej to: \(y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}\). Krok 4. Obliczenie współrzędnych punktu \(A\). Skoro znamy pełne wzory dwóch prostych, to możemy stworzyć z nich układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne miejsca ich przecięcia, czyli współrzędne punktu \(A\). \begin{cases} y=2x-3 \           ,\ y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2} \end{cases} Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy: $$2x-3=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2} \           ,\ 2\frac{1}{2}x=11\frac{1}{2} \           ,\ \frac{5}{2}x=\frac{23}{2} \           ,\ x=\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$$ Znając wartość współrzędnej \(x\) możemy podstawić ją do jednego z równań i wyznaczyć w ten sposób brakującą współrzędną \(y\). $$y=2x-3 \           ,\ y=2\cdot4\frac{3}{5}-3 \           ,\ y=9\frac{1}{5}-3 \           ,\ y=6\frac{1}{5}$$ Współrzędne punktu styczności to: \(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania