Okręgi o środkach odpowiednio \(A\) i \(B\) są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku \(A\) jest równy \(2\).





Uzasadnij, że promień okręgu o środku \(B\) jest mniejszy od \(\sqrt{2}-1\).

Odpowiedź:      

Uzasadniono korzystając z własności przekątnej kwadratu.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Skoro promień dużego okręgu jest równy \(2\), to otrzymamy następującą sytuację: Krok 2. Ułożenie równania. Na rysunku powstał nam kwadrat \(ABCD\), którego boki są równe długości promienia okręgu. Z własności przekątnych kwadratu wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Nasz kwadrat \(ABCD\) ma bok długości \(2\), a skoro tak, to odcinek \(AC\) będący przekątną tego kwadratu ma długość \(2\sqrt{2}\). To oznacza, że możemy zapisać iż: $$x+r+r+2=2\sqrt{2} \           ,\ x+2r+2=2\sqrt{2}$$ Krok 3. Analiza otrzymanego równania i zakończenie dowodzenia. Wiemy, że \(x+2r+2=2\sqrt{2}\). Skoro \(x\) jest jakąś konkretną długością, to znaczy że odcinek \(2r+2\) jest mniejszy niż \(2\sqrt{2}\). W związku z tym: $$2r+2\lt2\sqrt{2} \quad\bigg/:2 \           ,\ r+1\lt\sqrt{2} \           ,\ r\lt\sqrt{2}-1$$

Teoria:      
W trakcie opracowania