Udowodnij, że iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(1\) do \(16\), czyli \(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot16\), jest podzielny przez \(2^{15}\).

Odpowiedź:      

Udowodniono zapisując liczby w postaci potęg i wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Rozwiązanie:      
W tym zadaniu należało zauważyć, że wszystkie liczby parzyste można zapisać używając dwójki w pewnej potędze: $$2=2^1 \           ,\ 4=2^2 \           ,\ 6=2^1\cdot3 \           ,\ 8=2^3 \           ,\ 10=2^1\cdot5 \           ,\ 12=2^2\cdot3 \           ,\ 14=2^1\cdot7 \           ,\ 16=2^4$$ Gdybyśmy teraz pomnożyli przez siebie te wszystkie liczby parzyste to otrzymalibyśmy: $$2^1\cdot2^2\cdot2^1\cdot3\cdot2^3\cdot2^1\cdot5\cdot2^2\cdot3\cdot2^1\cdot7\cdot2^4= \           ,\ =2^{1+2+1+3+1+2+1+4}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7= \           ,\ 2^{15}\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7$$ Udało nam się udowodnić, że mnożąc przez siebie wszystkie parzyste liczby wynik jest na pewno podzielny przez \(2^{15}\). To oznacza, że możemy teraz mnożyć to działanie przez cokolwiek (np. przez liczby nieparzyste, które pominęliśmy), a wynik nadal będzie podzielny przez \(2^{15}\), co należało udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania