Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

Odpowiedź:      

Udowodniono przedstawioną tezę zapisując liczbę \(3k^2\) w postaci \(7\cdot(21n^2+12n+1)+5\).

Rozwiązanie:      
Jeżeli liczba \(k\) przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\) to możemy ją zapisać w postaci \(k=7n+2\). Podstawiając tę postać do liczby \(3k^2\) otrzymamy: $$3k^2=3\cdot(7n+2)^2=3\cdot(49n^2+28n+4)=147n^2+84n+12$$ Teraz musimy udowodnić, że ta liczba którą otrzymaliśmy dzieli się przez \(7\) i daje resztę \(5\). Dobrze byłoby więc wyłączyć siódemkę przed nawias, ale przeszkadza nam w tym liczba \(12\). Rozbijmy więc ją sobie na działanie \(7+5\) i tak oto: $$147n^2+84n+7+5=7\cdot(21n^2+12n+1)+5$$ W ten oto sposób pokazaliśmy, że dzieląc to wyrażenie przez \(7\) otrzymamy jakąś liczbę całkowitą (opisaną jako \(21n^2+12n+1\)) i jeszcze zostanie nam \(5\) reszty. Dowodzenie można więc uznać za zakończone.

Teoria:      
W trakcie opracowania