Do kwadratu różnicy dwóch dowolnych liczb parzystych dodano różnicę kwadratów tych liczb. Udowodnij, że otrzymana liczba jest podzielna przez \(8\).

Odpowiedź:      

Udowodniono rozpisując wyrażenie i korzystając z informacji na temat liczb parzystych.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania. Przyjmijmy, że \(a\) oraz \(b\) to liczby parzyste, które są bohaterami naszego zadania. Zazwyczaj liczby parzyste opisujemy jednomianem \(2n\), ale tutaj skoro mogą to być dwie różne liczby, to możemy zapisać sobie, że \(a=2n\) oraz \(b=2m\), gdzie \(n\) oraz \(m\) są liczbami całkowitymi. Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania. Zgodnie z treścią zadania interesuje nas następujące działanie: $$(a-b)^2+a^2-b^2= \           ,\ =a^2-2ab+b^2+a^2-b^2= \           ,\ =2a^2-2ab$$ Podstawiając teraz \(a=2n\) oraz \(b=2m\) otrzymamy: $$2\cdot(2n)^2-2ab=2\cdot4n^2-2\cdot2n\cdot2m=8n^2-8nm=8n\cdot(n-m)$$ Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku. Powiedzieliśmy sobie, że \(n\) oraz \(m\) to liczby całkowite. Różnica liczb całkowitych \(n-m\) jest liczbą całkowitą. Jeżeli tą całkowitą liczbę pomnożymy jeszcze przez \(n\) stojące przed nawiasem, to cały czas będziemy mieć całkowity wynik. W związku z tym, że na początku wyrażenia znalazła się jeszcze ósemka, a cała reszta jest liczbą całkowitą, to mamy dowód, że otrzymana liczba jest podzielna przez \(8\).

Teoria:      
W trakcie opracowania