Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_{n}=n(n-2)\). Oblicz pierwszy wyraz ciągu i jego różnicę.

Odpowiedź:      

\(r=2\) oraz \(a_{1}=-1\)

Rozwiązanie:      
I sposób - obliczając wartości pierwszego i drugiego wyrazu: Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Jeżeli podstawimy do wzoru \(n=1\), to otrzymamy "sumę pierwszego wyrazu", czyli tak naprawdę wartość tego pierwszego wyrazu. W związku z tym: $$S_{n}=n(n-2) \           ,\ S_{1}=1(1-2) \           ,\ S_{1}=1\cdot-1 \           ,\ S_{1}=-1$$ To oznacza, że \(a_{1}=-1\). Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu. Jeżeli tym razem podstawimy \(n=2\), to otrzymamy sumę dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy, więc dzięki temu będziemy w stanie obliczyć wartość drugiego wyrazu. Zatem: $$S_{n}=n(n-2) \           ,\ S_{2}=2(2-2) \           ,\ S_{2}=2\cdot0 \           ,\ S_{2}=0$$ Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy \(S_{2}=a_{1}+a_{2}\). Podstawiając pod to \(a_{1}=-1\) otrzymamy: $$S_{2}=a_{1}+a_{2} \           ,\ 0=-1+a_{2} \           ,\ a_{2}=1$$ Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Znając dwa pierwsze wyrazy ciągu bez problemu obliczymy różnicę ciągu arytmetycznego: $$r=a_{2}-a_{1} \           ,\ r=1-(-1) \           ,\ r=2$$ II sposób - wyznaczając wzór ciągu: Krok 1. Wyznaczenie wzoru ciągu arytmetycznego. Dobrym sposobem na rozwiązanie tego zadania byłoby też wyznaczenie wzoru ciągu. Uda nam się to zrobić w następujący sposób: $$a_{n}=S_{n}-S_{n-1} \           ,\ a_{n}=n(n-2)-(n-1)((n-1)-2) \           ,\ a_{n}=n(n-2)-(n-1)(n-3) \           ,\ a_{n}=n^2-2n-n^2+3n+n-3 \           ,\ a_{n}=2n-3$$ Krok 2. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając wzór ciągu możemy wyznaczyć bez problemu wartość dowolnego wyrazu. Szukając wartości pierwszego wyrazu podstawimy \(n=1\) i otrzymamy: $$a_{1}=2\cdot1-3 \           ,\ a_{1}=2-3 \           ,\ a_{1}=-1$$ Krok 3. Wyznaczenie różnicy ciągu. Tak naprawdę nie musimy nic więcej liczyć by poznać różnicę ciągu. Z własności wzorów ciągów arytmetycznych wynika, że różnicą ciągu jest liczba która znajduje się przed \(n\). W tym przypadku przed \(n\) znalazła się dwójka, czyli \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy wyliczyć wartość drugiego wyrazu i potem obliczyć różnicę ciągu: $$a_{n}=2n-3 \           ,\ a_{2}=2\cdot2-3 \           ,\ a_{2}=4-3 \           ,\ a_{2}=1$$ Zatem różnica ciągu wyniesie: $$r=a_{2}-a_{1} \           ,\ r=1-(-1) \           ,\ r=2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania