Dany jest ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_{n})\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:

A \(1\)
B \(11\)
C \(21\)
D \(31\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu. Z treści zadania wynika, że \(a_{2}=2\) oraz \(q=2\). To oznacza, że pierwszy wyraz tego ciągu jest równy: $$a_{1}=a_{2}:q \           ,\ a_{1}=2:2 \           ,\ a_{1}=1$$ Krok 2. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów ciągu. Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\ S_{5}=1\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2} \           ,\ S_{5}=1\cdot\frac{1-32}{-1} \           ,\ S_{5}=1\cdot\frac{-31}{-1} \           ,\ S_{5}=1\cdot31 \           ,\ S_{5}=31$$

Teoria:      
W trakcie opracowania