W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla \(n\ge1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa \(12\). Wyrazy \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) ciągu \((a_{n})\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_{n})\). Oblicz \(k\).

Odpowiedź:      

\(k=11\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań. Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że: \begin{cases} S_{11}=187 \           ,\ \frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12 \end{cases} Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że: $$a_{3}=a_{1}+2r \           ,\ a_{9}=a_{1}+8r \           ,\ a_{11}=a_{1}+10r$$ Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że: $$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11 \           ,\ S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11 \           ,\ S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11 \           ,\ S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11 \           ,\ S_{11}=11a_{1}+55r$$ Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy: \begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \           ,\ \frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12 \end{cases}\begin{cases} 11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \           ,\ \frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3 \end{cases}\begin{cases} a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \           ,\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases}\begin{cases} -3a_{1}-15r=-51 \           ,\ 3a_{1}+10r=36 \end{cases} Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy: $$-5r=-15 \           ,\ r=3$$ Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu. Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy: $$3a_{1}+10r=36 \           ,\ 3a_{1}+10\cdot3=36 \           ,\ 3a_{1}=6 \           ,\ a_{1}=2$$ Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym). $$a_{3}=a_{1}+2r \           ,\ a_{3}=2+2\cdot3 \           ,\ a_{3}=8$$ Krok 4. Zapisanie wzoru na \(a_{k}\) wyraz ciągu. $$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \           ,\ a_{k}=2+(k-1)\cdot3 \           ,\ a_{k}=2+3k-3 \           ,\ a_{k}=3k-1$$ Krok 5. Obliczenie wartości \(k\). Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja: $${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k} \           ,\ 8^2=2\cdot(3k-1) \           ,\ 64=6k-2 \           ,\ 66=6k \           ,\ k=11$$

Teoria:      
W trakcie opracowania