W siedmiowyrazowym ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest równy \(0\). Udowodnij, że suma wyrazów tego ciągu jest równa \(0\).

Odpowiedź:      

Udowodniono obliczając sumę siedmiu wyrazów.

Rozwiązanie:      
Korzystając z tego wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\), możemy zapisać, że: $$S_{7}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7} \           ,\ S_{7}=a_{1}+(a_{1}+r)+(a_{1}+2r)+(a_{1}+3r)+(a_{1}+4r)+(a_{1}+5r)+(a_{1}+6r) \           ,\ S_{7}=7a_{1}+21r$$ Wiemy, że środkowy (czyli czwarty) wyraz tego ciągu jest równy \(0\), czyli: $$a_{1}+3r=0 \           ,\ a_{1}=-3r$$ Podstawiając to do wyznaczonej przed chwilą sumy otrzymamy: $$S_{7}=7a_{1}+21r \           ,\ S_{7}=7\cdot(-3r)+21r \           ,\ S_{7}=-21r+21r \           ,\ S_{7}=0$$

Teoria:      
W trakcie opracowania