W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla liczb naturalnych \(n\ge1\), wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(S_{10}=\frac{15}{4}\). Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(a_{1}=-\frac{3}{4}\) oraz \(r=\frac{1}{4}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie układu równań. Z treści zadania wynika, że możemy stworzyć następujący układ równań: $$\begin{cases} a_{6}=2a_{5} \           ,\ S_{10}=\frac{15}{4} \end{cases}$$ Aby rozwiązać ten układ równań musimy rozpisać piąty i szósty wyraz korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) oraz musimy rozpisać sumę dziesięciu wyrazów korzystając ze wzoru \(S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n\). W związku z tym: $$\begin{cases} a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \           ,\ \frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4} \end{cases}$$ Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Zaczynając od wymnożenia odpowiednich wartości w nawiasach możemy zapisać, że: $$\begin{cases} a_{1}+5r=2\cdot(a_{1}+4r) \           ,\ \frac{2a_{1}+9r}{2}\cdot10=\frac{15}{4} \end{cases}$$ $$\begin{cases} a_{1}+5r=2a_{1}+8r \           ,\ (2a_{1}+9r)\cdot5=\frac{15}{4} \end{cases}$$ $$\begin{cases} -a_{1}-3r=0 \           ,\ 10a_{1}+45r=\frac{15}{4} \quad\bigg/\cdot4 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -a_{1}-3r=0 \quad\bigg/\cdot40 \           ,\ 40a_{1}+180r=15 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -40a_{1}-120r=0 \quad\bigg/\cdot40 \           ,\ 40a_{1}+180r=15 \end{cases}$$ Dodając równania stronami otrzymamy: $$60r=15 \           ,\ r=\frac{1}{4}$$ Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu. Znając wartość \(r=\frac{1}{4}\), możemy teraz wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyznaczoną różnicę ciągu do jednego z równań np.: $$-a_{1}-3r=0 \           ,\ -a_{1}-3\frac{1}{4}=0 \           ,\ -a_{1}-\frac{3}{4}=0 \           ,\ a_{1}=-\frac{3}{4}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania