Dla pewnej liczby \(x\) ciąg \((x, x+4, 16)\) jest geometryczny. Liczba \(x\) jest równa:

A \(8\)
B \(4\)
C \(2\)
D \(0\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie równania. Między trzema sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając poszczególne wyrazy do tego wzoru otrzymamy: $$(x+4)^2=x\cdot16 \           ,\ x^2+8x+16=16x \           ,\ x^2-8x+16=0$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Jeżeli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to możemy zauważyć że \(x^2-8x+16\) jest równe tak naprawdę \((x-4)^2\). Otrzymanie takiej postaci pozwoliłoby nam bardzo szybko obliczyć rozwiązanie równania, bo otrzymalibyśmy wtedy: $$(x-4)^2=0 \           ,\ x-4=0 \           ,\ x=4$$ Jeżeli jednak nie dostrzegliśmy tutaj wzoru skróconego mnożenia, to nie pozostaje nam nic innego jak obliczenie delty: Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=16\) $$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot16=64-64=0$$ Delta wyszła równa zero, zatem otrzymamy tylko jedno rozwiązanie: $$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-8)}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$

Teoria:      
W trakcie opracowania