W niemonotonicznym ciągu geometrycznym dane są wyrazy \(a_{4}=16\) i \(a_{6}=1\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

A \(-8\)
B \(-4\)
C \(4\)
D \(8\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy zapisać, że: $$a_{6}=a_{4}\cdot q^2 \           ,\ 1=16\cdot q^2 \           ,\ q^2=\frac{1}{16} \           ,\ q=\frac{1}{4} \quad\lor\quad q=-\frac{1}{4}$$ Krok 2. Wyznaczenie wartości piątego wyrazu ciągu. Wyszły nam dwa różne ilorazy ciągu geometrycznego, dlatego rozpatrzmy dwie możliwości: Gdy \(q=\frac{1}{4}\): \(a_{5}=a_{4}\cdot q \           ,\ a_{5}=16\cdot\frac{1}{4} \           ,\ a_{5}=4\) Czyli mamy ciąg malejący: \((...,16,4,1,...)\). Gdy \(q=-\frac{1}{4}\): \(a_{5}=a_{4}\cdot q \           ,\ a_{5}=16\cdot\left(-\frac{1}{4}\right) \           ,\ a_{5}=-4\) Czyli mamy ciąg niemonotoniczny: \((...,16,-4,1,...)\). Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg miał być niemonotoniczny (czyli raz miał być rosnący, raz malejący), a taka sytuacja ma miejsce w tym drugim przypadku. Z tego też względu \(a_{5}=-4\).

Teoria:      
W trakcie opracowania