W ciągu geometrycznym przez \(S_{n}\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_{1}=2\) i \(S_{2}=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(q=5\) oraz \(a_{5}=1250\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu. \(S_{1}\) to suma pierwszego wyrazu, czyli tak naprawdę jest to wartość \(a_{1}\). Możemy więc od razu zapisać, że \(a_{1}=2\). \(S_{2}\) to suma dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy i jest to \(2\), zatem: $$a_{1}+a_{2}=12 \           ,\ 2+a_{2}=12 \           ,\ a_{2}=10$$ Krok 2. Obliczenie iloczynu tego ciągu. Skoro znamy wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\) to bez problemu możemy wyznaczyć wartość ilorazu \(q\): $$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \           ,\ q=\frac{10}{2} \           ,\ q=5$$ Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu. Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze wyznaczyć wartość piątego wyrazu. Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego: $$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \           ,\ a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1} \           ,\ a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}$$ Podstawiając znane nam dane, czyli \(a_{1}=2\) oraz \(q=5\) otrzymamy: $$a_{5}=2\cdot5^4 \           ,\ a_{5}=2\cdot625 \           ,\ a_{5}=1250$$

Teoria:      
W trakcie opracowania