Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq0\).



Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.

Odpowiedź:      

\(m=\frac{1}{2}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\). Podstawiając do wzoru funkcji wartości \(m\), \(1\) oraz \(2\), otrzymamy: $$f(m)=\frac{1}{m} \           ,\ f(1)=\frac{1}{1}=1 \           ,\ f(2)=\frac{1}{2}$$ Krok 2. Wyznaczenie wartości \(m\). Chcemy, by obliczone przed chwilą liczby tworzyły ciąg geometryczny. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu musi zachodzić następująca równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ W naszym przypadku \(a_{1}=\frac{1}{m}\), \(a_{2}=1\) oraz \(a_{3}=\frac{1}{2}\), zatem: $$1^2=\frac{1}{m}\cdot\frac{1}{2} \           ,\ 1=\frac{1}{2m} \quad\bigg/\cdot2m \           ,\ 2m=1 \           ,\ m=\frac{1}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania