Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-4\). Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o \(3\), a trzecią powiększymy o \(4\), to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Odpowiedź:      

Ciąg arytmetyczny: \(13,9,5\). Ciąg geometryczny: \(16,12,9\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego. Z treści zadania wynika, że różnica ciągu arytmetycznego jest równa \(r=-4\). Skoro tak, to możemy zapisać, że: Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}\) Drugi wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-4\) Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(a_{1}-2\cdot4=a_{1}-8\) Krok 2. Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego. Zgodnie z treścią zadania możemy zapisać, że: Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(a_{1}+3\) Drugi wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-4+3=a_{1}-1\) Trzeci wyraz ciągu geom.: \(a_{1}-8+4=a_{1}-4\) Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. W ciągu geometrycznym dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca równość: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiając zapisane przed chwilą wyrazy ciągu geometrycznego otrzymamy: $$(a_{1}-1)^2=(a_{1}+3)\cdot(a_{1}-4) \           ,\ {a_{1}}^2-2a_{1}+1^2={a_{1}}^2-4a_{1}+3a_{1}-12 \           ,\ -2a_{1}+1=-a_{1}-12 \           ,\ -a_{1}=-13 \           ,\ a_{1}=13$$ Krok 4. Obliczenie wartości wyrazów ciągu arytmetycznego oraz geometrycznego. Korzystając z oznaczeń, które zapisaliśmy sobie w pierwszym i drugim kroku otrzymamy: Pierwszy wyraz ciągu arytm.: \(13\) Drugi wyraz ciągu arytm.: \(13-4=9\) Trzeci wyraz ciągu arytm.: \(13-8=5\) Pierwszy wyraz ciągu geom.: \(13+3=16\) Drugi wyraz ciągu geom.: \(13-1=12\) Trzeci wyraz ciągu geom.: \(13-4=9\) Możemy więc powiedzieć, że ciąg arytmetyczny tworzą liczby \(13,9,5\), a ciąg geometryczny tworzą liczby \(16,12,9\).

Teoria:      
W trakcie opracowania