Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) oraz \(a_{2}=6\) i \(a_{5}=-48\). Wynika stąd, że:

A \(a_{7}\gt0\)
B \(a_{7}\lt0\)
C \(a_{7}\gt a_{6}\)
D \(a_{7}\gt a_{8}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
I sposób - obliczając wartość iloczynu ciągu geometrycznego. Krok 1. Obliczenie wartości iloczynu \(q\). Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że \(a_{5}=a_{2}\cdot q^3\). Znamy wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{5}\), więc możemy bez problemu obliczyć wartość \(q\): $$a_{5}=a_{2}\cdot q^3 \           ,\ -48=6\cdot q^3 \           ,\ q^3=-8 \           ,\ q=-2$$ Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\). Patrząc się na odpowiedzi, potrzebujemy poznać wartości \(a_{6}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{8}\), zatem: $$a_{6}=a_{2}\cdot q^4 \           ,\ a_{6}=6\cdot(-2)^4 \           ,\ a_{6}=6\cdot16 \           ,\ a_{6}=96$$ $$a_{7}=a_{2}\cdot q^5 \           ,\ a_{7}=6\cdot(-2)^5 \           ,\ a_{7}=6\cdot(-32) \           ,\ a_{7}=-192$$ $$a_{8}=a_{2}\cdot q^6 \           ,\ a_{8}=6\cdot2^6 \           ,\ a_{8}=6\cdot64 \           ,\ a_{8}=384$$ Krok 3. Weryfikacja poprawności odpowiedzi. Spoglądając na proponowane odpowiedzi widzimy, że prawdziwą nierównością jest jedynie \(a_{7}\lt0\), ponieważ \(a_{7}=-192\). II sposób - metodą dedukcji. Powinniśmy dostrzec, wartość \(a_{2}\) jest dodatnia, a wartość \(a_{5}\) jest ujemna, co prowadzi nas do wniosku, że ten ciąg musi być niemonotoniczny. To oznacza, że wyrazy w tym ciągu muszą być naprzemiennie dodatnie i ujemne: \(a_{2}\) jest dodatnie \(a_{3}\) jest ujemne \(a_{4}\) jest dodatnie \(a_{5}\) jest ujemne \(a_{6}\) jest dodatnie \(a_{7}\) jest ujemne \(a_{8}\) jest dodatnie Teraz analizując podane odpowiedzi możemy stwierdzić, że prawdą na temat tego ciągu jest to, że \(a_{7}\lt0\).

Teoria:      
W trakcie opracowania