Objętość prostopadłościanu jest równa \(216\), a długości trzech jego krawędzi poprowadzone z jednego wierzchołka są liczbami naturalnymi i tworzą niemalejący ciąg geometryczny, którego iloraz jest liczbą pierwszą. Oblicz wymiary tego prostopadłościanu oraz długość jego przekątnej.

Odpowiedź:      

\(2\times6\times18\) o przekątnej \(2\sqrt{91}\) oraz \(3\times6\times12\) o przekątnej \(3\sqrt{21}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości jednej z krawędzi prostopadłościanu. Na razie potraktujmy to zadanie jako typowy przykład z ciągów. Z treści zadania możemy wywnioskować, że liczby \(a\), \(b\) oraz \(c\) tworzą ciąg geometryczny, a iloczyn tych liczb jest równy \(216\). Czyli mamy taką oto sytuację: $$a\cdot b\cdot c=216$$ Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego zachodzi równość \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\), czyli w naszym przypadku \(b^2=a\cdot c\). Skoro tak, to możemy podstawić tę zależność do naszego zapisu: $$a\cdot b\cdot c=216 \           ,\ a\cdot c\cdot b=216 \           ,\ b^2\cdot b=216 \           ,\ b^3=216 \           ,\ b=6$$ Krok 2. Ustalenie, jakie są wymiary pozostałych boków. Wiemy już, że jeden z boków ma długość \(b=6\). Tym samym możemy zapisać, że: $$a\cdot6\cdot c=216 \           ,\ a\cdot c=36$$ Z treści zadania wynika, że wszystkie długości krawędzi są liczbami naturalnymi. Musimy się więc zastanowić jakie dwie liczby naturalne pomnożone przez siebie dają wynik równy \(36\). Będą to: $$1\cdot36=36 \           ,\ 2\cdot18=36 \           ,\ 3\cdot12=36 \           ,\ 4\cdot9=36 \           ,\ 6\cdot6=36$$ Możemy więc mówić o następujących ciągach: I wersja: \(1,6,36 \Rightarrow q=6\) II wersja \(2,6,18 \Rightarrow q=3\) III wersja \(3,6,12 \Rightarrow q=2\) IV wersja \(4,6,9 \Rightarrow q=1,5\) V wersja \(6,6,6 \Rightarrow q=1\) I, IV oraz V wersję musimy odrzucić, ponieważ iloraz ciągu ma być liczbą pierwszą, a zarówno \(1\), jak i \(1,5\) jak i \(6\) nie są takimi liczbami. To oznacza, że warunki naszego zadania spełniają dwa prostopadłościany: \(2\times6\times18\) oraz \(3\times6\times12\). Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu. Mamy dwa prostopadłościany spełniające warunki zadania, więc i dwie przekątne będziemy musieli obliczyć. Spójrzmy na rysunek pomocniczy: Do wyznaczenia długości przekątnej prostopadłościanu potrzebujemy znać długość przekątnej podstawy. Obliczmy zatem tę długość w pierwszym i drugim wariancie: I wariant - \(2\times6\times18\) $$2^2+6^2=d^2 \           ,\ 4+36=d^2 \           ,\ d^2=40 \           ,\ d=\sqrt{40} \quad\lor\quad d=-\sqrt{40}$$ Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(d=\sqrt{40}\) (i póki co możemy to zostawić w takiej postaci). II wariant - \(3\times6\times12\) $$3^2+6^2=d^2 \           ,\ 9+36=d^2 \           ,\ d^2=45 \           ,\ d=\sqrt{45} \quad\lor\quad d=-\sqrt{45}$$ I tutaj także ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(d=\sqrt{45}\). Teraz mając długości przekątnych podstawy, możemy obliczyć długości przekątnych całego prostopadłościanu: I wariant - \(2\times6\times18\) $$18^2+(\sqrt{40})^2=s^2 \           ,\ 324+40=s^2 \           ,\ s^2=364 \           ,\ s=\sqrt{364} \quad\lor\quad s=-\sqrt{364}$$ Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(s=\sqrt{364}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{4\cdot91}=2\sqrt{91}\) II wariant - \(3\times6\times12\) $$12^2+(\sqrt{45})^2=s^2 \           ,\ 144+45=s^2 \           ,\ s^2=189 \           ,\ s=\sqrt{189} \quad\lor\quad s=-\sqrt{189}$$ Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(s=\sqrt{189}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{9\cdot21}=3\sqrt{21}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania