W malejącym ciągu geometrycznym \((a_{n})\) mamy: \(a_{1}=-2\) i \(a_{3}=-4\). Iloraz tego ciągu jest równy:

A \(-2\)
B \(2\)
C \(-\sqrt{2}\)
D \(\sqrt{2}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego. Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego: $$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1} \           ,\ a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \           ,\ -4=(-2)\cdot q^{2} \           ,\ q^2=2 \           ,\ q=\sqrt{2} \quad\lor\quad q=-\sqrt{2}$$ Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku. Z treści zadania wiemy, że nasz ciąg geometryczny jest malejący, ale to nie oznacza, że iloraz tego ciągu jest ujemny! Gdyby iloraz \(q\) był liczbą ujemną, to ciąg ten ciąg miałby naprzemiennie wyrazy dodatnie i ujemne. Możemy to sobie nawet sprawdzić na naszych rozwiązaniach, które przed chwilą otrzymaliśmy. Jeśli \(q=-\sqrt{2}\) oraz \(a_{1}=-2\), to mamy ciąg: $$-2,\quad2\sqrt{2},\quad-4,\quad4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$ Wartość ilorazu musi być więc w naszym przypadku dodatnia. Jeśli \(q=\sqrt{2}\), wtedy kolejnymi wyrazami tego ciągu będą: $$-2,\quad-2\sqrt{2},\quad-4,\quad-4\sqrt{2}\quad\text{itd.}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania