Ciąg \((1,\;x,\;y-1)\) jest arytmetyczny, natomiast ciąg \((x,\;y,\;12)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\) oraz \(y\) i podaj ten ciąg geometryczny.

Odpowiedź:      

\(x=3\), \(y=6\). Ciąg geometryczny to \((3,6,12)\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą średniej arytmetycznej wartości pierwszego i trzeciego wyrazu: $$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \           ,\ a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \           ,\ a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$ Podstawiamy \(a_{1}=1\), \(a_{2}=x\) oraz \(a_{3}=y-1\), otrzymując: $$x=\frac{1+(y-1)}{2}=\frac{y}{2}$$ Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego. Drugi wyraz ciągu geometrycznego wyliczymy ze wzoru: $${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \           ,\ {a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \           ,\ {a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$ Podstawiamy \(a_{1}=x\), \(a_{2}=y\) oraz \(a_{3}=12\), otrzymując: $$y^2=x\cdot12 \           ,\ y^2=12x$$ Krok 3. Stworzenie i rozwiązanie układu równań. Z otrzymanych w pierwszym i drugim kroku wyników możemy ułożyć następujący układ równań: \begin{cases} x=\frac{y}{2} \           ,\ y^2=12x \end{cases} Podstawiamy wartość \(x\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując: $$y^2=12\cdot\frac{y}{2} \           ,\ y^2=6y$$ Doprowadzamy równanie do postaci ogólnej, czyli takiej by po prawej stronie zostało nam zero (jest to potrzebne aby wyliczyć deltę): $$y^2-6y=0$$ Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=0\) $$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot0=36-0=36 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$ $$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-6}{2\cdot1}=\frac{6-6}{2}=0 \           ,\ y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+6}{2\cdot1}=\frac{6+6}{2}=6$$ Krok 5. Obliczenie wartości \(x\). Wyszło nam przed chwilą, że wartość \(y\) może przybrać więc dwie możliwości: \(0\) lub \(6\). Musimy jeszcze obliczyć wartość \(x\). Skoro \(x=\frac{y}{2}\) to: $$x=\frac{0}{2} \quad\lor\quad x=\frac{6}{2} \           ,\ x=0 \quad\lor\quad x=3$$ Powstały nam więc dwie pary rozwiązań: $$x=0,\quad y=0 \           ,\ x=3,\quad y=6$$ Krok 6. Weryfikacja otrzymanych wyników i podanie ciągu geometrycznego. Ciąg geometryczny ma postać \((x,\;y,\;12)\). Podstawiając do niego obliczone przed chwilą wartości otrzymamy, że jest to albo ciąg \((0,\;0,\;12)\), albo \((3,\;6,\;12)\). Pierwszy wariant musimy odrzucić, bo nie jest to ciąg geometryczny. Drugi ciąg jak najbardziej jest geometryczny (każdy kolejny wyraz jest dwukrotnie większy), tak więc to jest nasza szukana odpowiedź.

Teoria:      
W trakcie opracowania