Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_{n})\), w którym \(a_{3}=1\) i \(a_{4}=\frac{2}{3}\). Wtedy:

A \(a_{1}=\frac{2}{3}\)
B \(a_{1}=\frac{4}{9}\)
C \(a_{1}=\frac{3}{2}\)
D \(a_{1}=\frac{9}{4}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie parametru \(q\). Znamy trzeci i czwarty wyraz ciągu geometrycznego, więc bez problemu obliczymy wartość \(q\): $$q=\frac{a_{4}}{a_{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$$ Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu. Wartość pierwszego wyrazu ciągu obliczymy za pomocą wzoru: $$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$ Wartość \(q\) już znamy, więc teraz podstawmy do tego wzoru np. trzeci wyraz tego ciągu (wtedy \(n=3\)) i w ten sposób obliczymy wartość \(a_{1}\). Równie dobrze możemy podstawić wartość czwartego wyrazu, wtedy \(n=4\). Tak więc: $$a_{3}=a_{1}\cdot q^{3-1} \           ,\ 1=a_{1}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \           ,\ 1=a_{1}\cdot\frac{4}{9} \quad\bigg/\cdot\frac{9}{4} \           ,\ a_{1}=\frac{9}{4}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania