W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) mamy \(a_{3}=5\) i \(a_{4}=15\). Wtedy wyraz \(a_{5}\) jest równy:

A \(10\)
B \(20\)
C \(75\)
D \(45\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości iloczynu ciągu geometrycznego. Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów ciągu możemy obliczyć jego iloraz: $$q=\frac{a_{4}}{a_{3}} \           ,\ q=\frac{15}{5} \           ,\ q=3$$ Krok 2. Wyznaczenie wartości piątego wyrazu. Skoro znamy czwarty wyraz tego ciągu oraz iloczyn \(q\) to piąty wyraz możemy obliczyć już niemalże w pamięci, bo wystarczyłoby te dwie liczby przez siebie pomnożyć, czyli wykonać działanie \(15\cdot3=45\). Gdybyśmy chcieli zapisać to matematycznie (co może się przydać Ci przy innych zadaniach) to można byłoby tu zastosować następujący wzór: $$a_{n}=a_{k}\cdot q^{n-k}$$ Za pomocą tego wzoru obliczymy wartość \(n\)-tego wyrazu ciągu, jeśli znamy wartość dowolnego innego wyrazu tego ciągu (\(k\)) oraz jeśli znamy iloczyn tego ciągu. Zatem: $$a_{5}=a_{4}\cdot q^{5-4} \           ,\ a_{5}=15\cdot 3^1 \           ,\ a_{5}=45$$

Teoria:      
W trakcie opracowania