W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) dane są \(a_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(a_{3}=-\frac{3}{2}\). Wtedy wyraz \(a_{1}\) jest równy:

A \(-\frac{1}{2}\)
B \(\frac{1}{2}\)
C \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Znając wartości drugiego i trzeciego wyrazu ciągu możemy bez problemu obliczyć wartość ilorazu \(q\), a następnie każdy dowolny wyraz tego ciągu. My w tym zadaniu jednak skorzystamy z dużo prostszej metody, która mówi o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi równość: \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). Dzięki temu unikniemy trudnych obliczeń na pierwiastkach i liczbach ujemnych. Korzystając z opisanej zależności otrzymujemy równanie: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \           ,\ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=a_{1}\cdot \left(-\frac{3}{2}\right) \           ,\ \frac{3}{4}=-\frac{3}{2}a_{1} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) \           ,\ a_{1}=-\frac{2}{4} \           ,\ a_{1}=-\frac{1}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania