Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2^n\) dla \(n\ge1\). Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:

A \(2(1-2^{10})\)
B \(-2(1-2^{10})\)
C \(2(1+2^{10})\)
D \(-2(1+2^{10})\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości ilorazu \(q\). Aby wyznaczyć wartość ilorazu \(q\) obliczmy sobie najpierw wartość pierwszego i drugiego wyrazu tego ciągu: $$a_{n}=2n \           ,\ a_{1}=2^1=2 \           ,\ a_{2}=2^2=4$$ $$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{4}{2}=2$$ Krok 2. Obliczenie sumy dziesięciu pierwszych wyrazów. Znając wartość ilorazu \(q\) oraz wartość pierwszego wyrazu, możemy skorzystać z następującego wzoru: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\ S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \           ,\ S_{10}=2\cdot\frac{1-2^{10}}{-1} \           ,\ S_{10}=-2\cdot(1-2^{10})$$

Teoria:      
W trakcie opracowania