Ciąg \((x-3,x,y)\) jest ciągiem arytmetycznym. Ciąg \((x,y,2y)\) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Znajdź wyrazy ciągu arytmetycznego oraz wyrazy ciągu geometrycznego.

Odpowiedź:      

Ciąg arytmetyczny \((0, 3, 6)\). Ciąg geometryczny \((3, 6, 12)\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie równań z własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Korzystając z własności ciągów arytmetycznych możemy zapisać, że: $$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2} \           ,\ x=\frac{x-3+y}{2} \           ,\ 2x=x-3+y \           ,\ x=-3+y$$ Korzystając z własności ciągów geometrycznych możemy zapisać, że: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \           ,\ y^2=x\cdot2y$$ Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań. Z naszych dwóch równań możemy ułożyć układ równań: $$\begin{cases} x=-3+y \           ,\ y^2=x\cdot2y \end{cases}$$ Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymamy: $$y^2=(-3+y)\cdot2y \           ,\ y^2=-6y+2y^2 \           ,\ y^2-6y=0 \           ,\ y(y-6)=0 \           ,\ y=0 \quad\lor\quad y=6$$ Rozwiązanie \(y=0\) musimy jednak odrzucić, bo zgodnie z warunkiem zadania ciąg geometryczny ma mieć dodatnie wyrazy, a gdy \(y=0\) to ciąg ma na pewno drugi i trzeci wyraz równy \(0\). Zostaje nam więc \(y=6\). Teraz musimy dokończyć rozwiązywanie układu równań i wyznaczyć wartość iksa. Podstawiając \(y=6\) do dowolnego z równań otrzymamy: $$x=-3+y \           ,\ x=-3+6 \           ,\ x=3$$ Krok 3. Zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Pozostała nam już tylko formalność, czyli zapisanie wyrazów obydwu ciągów. Podstawiając \(x=3\) oraz \(y=6\) otrzymamy: Ciąg arytmetyczny \((x-3,x,y) \Rightarrow (0, 3, 6)\) Ciąg geometryczny \((x,y,2y) \Rightarrow (3, 6, 12)\)

Teoria:      
W trakcie opracowania