Punkty \(A=(1,-1)\), \(B=(6,1)\), \(C=(7,5)\) i \(D=(2,4)\) są wierzchołkami czworokąta \(ABCD\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Odpowiedź:      

\(S=\left(4\frac{2}{7};2\frac{2}{7}\right)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Nanieśmy na układ współrzędnych poszczególne punkty z treści zadania: Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AC\). Znając współrzędne dwóch punktów możemy bez problemu wyznaczyć równanie prostej, która przez te punkty przechodzi. W tym celu możemy skorzystać z długiego i skomplikowanego wzoru z tablic lub też z metody układu równań - i to właśnie z tego drugiego sposobu skorzystamy. W tym celu musimy podstawić do równania prostej \(y=ax+b\) najpierw współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(C\), zatem: \begin{cases} -1=a\cdot1+b \           ,\ 5=a\cdot7+b \end{cases} \begin{cases} -1=a+b \           ,\ 5=7a+b \end{cases} Odejmując te równania stronami, otrzymamy: $$-6=-6a \           ,\ a=1$$ Wartość brakującego współczynnika \(b\) wyznaczymy podstawiając \(a=1\) do wybranego równania z układu równań (np. z pierwszego), zatem: $$-1=a+b \           ,\ -1=1+b \           ,\ b=-2$$ To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=1x-2\), czyli po prostu \(y=x-2\). Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(BD\). Równanie prostej \(BD\) wyznaczymy identycznie jak prostej \(AC\), zatem: \begin{cases} 1=a\cdot6+b \           ,\ 4=a\cdot2+b \end{cases} \begin{cases} 1=6a+b \           ,\ 4=2a+b \end{cases} Odejmując te równania stronami, otrzymamy: $$-3=4a \           ,\ a=-\frac{3}{4}$$ Brakujący współczynnik \(b\) wyznaczymy podstawiając teraz \(a=-\frac{3}{4}\) do wybranego równania z układu równań (np. do pierwszego), zatem: $$1=6a+b \           ,\ 1=6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)+b \           ,\ 1=-\frac{18}{4}+b \           ,\ 1=-4\frac{1}{2}+b \           ,\ b=5\frac{1}{2}$$ To oznacza, że prosta \(BD\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2}\). Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych przecięcia się przekątnych. Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań zbudowanego z dwóch prostych jest miejsce ich przecięcia się, czyli dokładnie to, co nas interesuje. W związku z tym: \begin{cases} y=x-2 \           ,\ y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2} \end{cases} Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy $$x-2=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{2} \           ,\ \frac{7}{4}x=7\frac{1}{2} \           ,\ \frac{7}{4}x=\frac{15}{2} \quad\bigg/\cdot\frac{4}{7} \           ,\ x=\frac{60}{14}=4\frac{4}{14}=4\frac{2}{7}$$ Znając współrzędną \(x=4\frac{2}{7}\) możemy bez problemu wyznaczyć wartość współrzędnej \(y\). Podstawiając obliczony \(x\) np. do pierwszego równania, otrzymamy: $$y=x-2 \           ,\ y=4\frac{2}{7}-2 \           ,\ y=2\frac{2}{7}$$ To oznacza, że przekątne przecinają się w punkcie \(S=\left(4\frac{2}{7};2\frac{2}{7}\right)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania