Uzasadnij, że jeśli \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\), to \(ad=bc\).

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów. Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia. $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2 \           ,\ a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2 \           ,\ a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2abcd+b^2\cdot d^2$$ Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu. Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\). $$\require{cancel} \cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2abcd+\cancel{b^2\cdot d^2} \           ,\ a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2abcd$$ Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę: $$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2abcd=0$$ Zapis ten możemy uprościć do postaci: $$(ad)^2+(bc)^2-2abcd=0$$ Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia. Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0\). Zatem: $$(ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0 \           ,\ (ad-bc)^2=0$$ Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania. Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy: $$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{} \           ,\ ad-bc=0 \           ,\ ad=bc$$

Teoria:      
W trakcie opracowania