Wycinek koła

Obwód (długość) okręgu liczymy ze wzoru:

$$L=2\pi r$$

Uwaga: $\pi r^2$ to wzór na pole koła, a nie długość okręgu. Łatwo je pomylić — długość zależy od $r$ liniowo, pole od $r^2$.

Odpowiedź: B. $2\pi r$.

Wzór na pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot3^2=9\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: podnosimy do kwadratu sam promień, a nie iloczyn $\pi r$. Zatem $9\pi$, a nie $(3\pi)^2$.

Odpowiedź: $9\pi$ cm² $\approx28{,}3$ cm².

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot10^2=3{,}14\cdot100=314\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $314$ cm².

Krok 1 — promień z pola:

$$\pi r^2=49\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=49 \quad\Rightarrow\quad r=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — długość okręgu:

$$L=2\pi r=14\pi\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $r=7$ cm, $L=14\pi$ cm.

Krok 1 — droga na jeden obrót to długość okręgu:

$$L=\pi d=\frac{22}{7}\cdot70=220\ \text{cm}$$

Krok 2 — zamiana na metry:

$$220\ \text{cm}=2{,}2\ \text{m}$$

Dlaczego $\frac{22}{7}$: to wygodne przybliżenie $\pi$, które przy średnicy podzielnej przez $7$ daje okrągły wynik.

Odpowiedź: $2{,}2$ m.

Pole zależy od kwadratu promienia. Dla promienia $2r$:

$$P=\pi(2r)^2=4\pi r^2$$

To cztery razy więcej niż $\pi r^2$.

Uwaga: długość okręgu podwoiłaby się (zależy od $r$ liniowo), ale pole rośnie z kwadratem — dlatego cztery razy.

Odpowiedź: D. wzrośnie czterokrotnie.

Krok 1 — pole większego koła:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Krok 2 — pole mniejszego koła:

$$P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 3 — pole pierścienia to różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

Półkole to połowa koła, więc bierzemy połowę pola:

$$P=\frac{\pi r^2}{2}$$

Odpowiedź: B. $\frac{\pi r^2}{2}$.

Krok 1 — promień koła wpisanego. Koło dotyka wszystkich boków kwadratu, więc jego średnica równa się bokowi:

$$2r=8 \quad\Rightarrow\quad r=4\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $16\pi$ cm².

$$\pi\approx3{,}14159\ldots$$

To liczba niewymierna — jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe. W szkole używamy przybliżeń $3{,}14$ lub $\frac{22}{7}$.

Odpowiedź: C. $3{,}14$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6^2=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień półkola. Średnica półkola to bok kwadratu:

$$2r=6 \quad\Rightarrow\quad r=3\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole półkola:

$$P_2=\frac{\pi\cdot3^2}{2}=\frac{9\pi}{2}=4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole całej figury:

$$P=36+4{,}5\pi\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $(36+4{,}5\pi)$ cm² $\approx50{,}1$ cm².

Ćwiartka to $\frac14$ pola całego koła:

$$P=\frac14\cdot\pi\cdot4^2=\frac14\cdot16\pi=4\pi$$

Odpowiedź: A. $4\pi$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_k=10^2=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — promień koła wpisanego:

$$r=\frac{10}{2}=5\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_{ko}=3{,}14\cdot5^2=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole poza kołem (cztery „narożniki”):

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Interpretacja. Koło zajmuje około $78{,}5\%$ kwadratu — ten stosunek $\frac{\pi}{4}$ jest taki sam dla każdego kwadratu z wpisanym kołem.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm².

Krok 1 — suma pól:

$$\pi\cdot6^2+\pi\cdot8^2=36\pi+64\pi=100\pi$$

Krok 2 — szukany promień. Pole nowego koła ma wynosić $100\pi$:

$$\pi R^2=100\pi \quad\Rightarrow\quad R^2=100 \quad\Rightarrow\quad R=10\ \text{cm}$$

Ciekawostka. Promienie $6$, $8$, $10$ tworzą trójkę pitagorejską: $6^2+8^2=10^2$. Dlatego pole koła o promieniu $10$ jest sumą pól kół o promieniach $6$ i $8$ — pola dodają się jak kwadraty przyprostokątnych.

Odpowiedź: $R=10$ cm.

Krok 1 — oznaczenia. Niech koło ma promień $r$. Kwadrat opisany dotyka koła wszystkimi bokami, więc jego bok równa się średnicy:

$$a=2r$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_{ko}=\pi r^2$$

Krok 3 — pole kwadratu:

$$P_{kw}=a^2=(2r)^2=4r^2$$

Krok 4 — stosunek:

$$\frac{P_{ko}}{P_{kw}}=\frac{\pi r^2}{4r^2}=\frac{\pi}{4} \qquad ∎$$

Promień $r$ skrócił się — stosunek zależy tylko od $\pi$, więc jest stały i wynosi około $0{,}785$.

Sprawdzenie dla $r=5$: pole koła $25\pi\approx78{,}5$, pole kwadratu $100$, stosunek $0{,}785$ ✔

Pole koła to $\pi r^2$.

Odpowiedź: B.

$$P=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Odpowiedź: $9\pi$.

$r=3$, $P=9\pi$.

Odpowiedź: C.

$$\pi r^2=25\pi \Rightarrow r=5$$

Odpowiedź: $5$.

$$\pi(4^2-3^2)=\pi(16-9)=7\pi$$

Odpowiedź: $7\pi$.

$90^\circ$ to $\tfrac14$ koła: $$\tfrac14\cdot\pi\cdot2^2=\pi$$

Odpowiedź: $\pi$.

$\pi\cdot16=16\pi$.

Odpowiedź: $16\pi$.

$2\pi r$.

Odpowiedź: B.

$2\pi\cdot5=10\pi$.

Odpowiedź: $10\pi$.

$\pi r^2=36\pi \Rightarrow r=6$.

Odpowiedź: $6$.

$\tfrac12\pi\cdot16=8\pi$.

Odpowiedź: C.

$r=5$, $P=25\pi$.

Odpowiedź: $25\pi$.

$\pi(25-9)=16\pi$.

Odpowiedź: $16\pi$.

$2\pi r=12\pi \Rightarrow r=6$.

Odpowiedź: $6$.

$180^\circ$ to połowa.

Odpowiedź: B.

$\tfrac14\pi\cdot16=4\pi$.

Odpowiedź: $4\pi$.

$\tfrac{36\pi}{9\pi}=4$ razy.

Odpowiedź: $4$.

$\tfrac{60}{360}\cdot2\pi\cdot6=2\pi$.

Odpowiedź: $2\pi$.

$r=7$, obwód $14\pi$.

Odpowiedź: $14\pi$.

Koło ma $r=2$, pole $4\pi$; odpad $16-4\pi$.

Odpowiedź: $16-4\pi$.

Korzystamy ze wzoru na długość okręgu:

$$L=2\pi r=2\pi\cdot5=10\pi\ \text{cm}$$

Przybliżenie: $10\pi\approx31{,}4$ cm.

Pułapka: odpowiedź B ($25\pi$) to pole koła, a nie długość okręgu — we wzorze na pole promień jest podnoszony do kwadratu.

Odpowiedź: C. $10\pi$ cm.

Korzystamy ze wzoru na pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Przybliżenie: przyjmując $\pi\approx3{,}14$ otrzymujemy $36\cdot3{,}14=113{,}04$ cm$^2$.

Uwaga na kolejność: najpierw podnosimy promień do kwadratu, dopiero potem mnożymy przez $\pi$. Zapis $(\pi\cdot6)^2$ dałby zupełnie inny wynik.

Odpowiedź: $36\pi$ cm$^2$, czyli około $113$ cm$^2$.

Przekształcamy wzór na pole koła:

$$P=\pi r^2 \quad\Rightarrow\quad r^2=\frac{P}{\pi}=\frac{49\pi}{\pi}=49$$

Wyciągamy pierwiastek:

$$r=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Pułapka: odpowiedź D ($14$ cm) to średnica, a pytanie dotyczy promienia — warto zawsze sprawdzić, o którą wielkość chodzi.

Odpowiedź: B. $7$ cm.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=\frac{10}{2}=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$L=2\pi\cdot5=10\pi\ \text{cm}\approx31{,}4\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole:

$$P=\pi\cdot5^2=25\pi\ \text{cm}^2\approx78{,}5\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: podstawienie średnicy w miejsce promienia. Zawsze zaczynaj od sprawdzenia, którą wielkość podano w treści.

Odpowiedź: obwód $10\pi\approx31{,}4$ cm, pole $25\pi\approx78{,}5$ cm$^2$.

We wzorze $P=\pi r^2$ promień występuje w kwadracie, więc podwojenie promienia oznacza czterokrotny wzrost pola:

$$P_2=\pi(2r)^2=\pi\cdot4r^2=4\cdot\pi r^2=4P_1$$

Sprawdźmy na liczbach: dla $r=3$ pole to $9\pi$, a dla $r=6$ pole to $36\pi$. Rzeczywiście $36:9=4$.

Dla porównania: obwód, w którym promień występuje w pierwszej potędze, wzrósłby tylko dwukrotnie.

Odpowiedź: A.

Kąt $60^\circ$ to szósta część pełnego kąta, bo $360^\circ:60^\circ=6$.

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — bierzemy szóstą część:

$$P_w=\frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot36\pi=\frac16\cdot36\pi=6\pi\ \text{cm}^2$$

Wzór ogólny na pole wycinka:

$$P_w=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$$

Odpowiedź: pole wycinka to $6\pi\approx18{,}8$ cm$^2$.

Krok 1 — jeden obrót koła odpowiada przejechaniu drogi równej obwodowi koła:

$$L=\pi d=3{,}14\cdot70=219{,}8\ \text{cm}$$

Krok 2 — droga po $100$ obrotach:

$$s=100\cdot219{,}8=21\,980\ \text{cm}$$

Krok 3 — zamiana na metry:

$$21\,980\ \text{cm}=219{,}8\ \text{m}$$

Kontrola sensu: koło ma około $2{,}2$ m obwodu, więc $100$ obrotów to około $220$ m — zgadza się.

Odpowiedź: rower przejedzie $219{,}8$ metra.

Krok 1 — promień wpisanego koła. Największe koło mieszczące się w kwadracie ma średnicę równą bokowi kwadratu:

$$d=10\ \text{cm} \quad\Rightarrow\quad r=5\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole kwadratu:

$$P_k=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — pole koła:

$$P_o=3{,}14\cdot5^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — pole pozostałej części:

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Kontrola sensu: koło zajmuje blisko $79\%$ kwadratu, więc na cztery narożniki zostaje około jednej piątej powierzchni — to się zgadza.

Odpowiedź: pozostała część ma $21{,}5$ cm$^2$.

Okrąg to zbiór punktów oddalonych od środka o dokładnie $r$ — sama linia, bez wnętrza. Ma długość.

Koło to zbiór punktów oddalonych od środka o nie więcej niż $r$ — linia wraz z całym wnętrzem. Ma pole.

Praktyczne rozróżnienie: obręcz roweru to okrąg, a talerz to koło.

Stąd też wzory: dla okręgu liczymy długość $L=2\pi r$, dla koła pole $P=\pi r^2$.

Odpowiedź: C.

Krok 1 — wyznaczamy promień z obwodu:

$$2\pi r=12\pi \quad\Rightarrow\quad r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — obliczamy pole:

$$P=\pi r^2=\pi\cdot36=36\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie da się przejść wprost z obwodu na pole — trzeba po drodze wyznaczyć promień. To typowe zadanie dwuetapowe.

Odpowiedź: pole koła to $36\pi\approx113$ cm$^2$.

Pierścień to koło większe z wyciętym kołem mniejszym, więc pola odejmujemy.

Krok 1 — pole koła większego:

$$P_1=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Krok 2 — pole koła mniejszego:

$$P_2=\pi\cdot3^2=9\pi$$

Krok 3 — różnica:

$$P=25\pi-9\pi=16\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga: nie wolno najpierw odejmować promieni. Wynik $\pi(5-3)^2=4\pi$ byłby błędny, bo $(a-b)^2\neq a^2-b^2$.

Odpowiedź: pole pierścienia to $16\pi\approx50{,}3$ cm$^2$.

Siatka biegnie wzdłuż brzegu klombu, więc liczymy obwód:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot4=25{,}12\ \text{m}$$

Powierzchnia ziemi to pole koła:

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot16=50{,}24\ \text{m}^2$$

Jak rozpoznać, czego szuka zadanie: to, co biegnie wokół (płot, siatka, obwódka), liczymy obwodem; to, co wypełnia (ziemia, trawa, farba), liczymy polem.

Odpowiedź: potrzeba $25{,}12$ m siatki, a klomb zajmie $50{,}24$ m$^2$.

Krok 1 — przekątna kwadratu. Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki, więc jego średnica to przekątna kwadratu:

$$d=a\sqrt2=8\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 2 — promień to połowa przekątnej:

$$r=\frac{8\sqrt2}{2}=4\sqrt2\ \text{cm}$$

Krok 3 — pole koła:

$$P=\pi r^2=\pi\left(4\sqrt2\right)^2=\pi\cdot16\cdot2=32\pi\ \text{cm}^2$$

Uwaga przy potęgowaniu: $\left(4\sqrt2\right)^2=4^2\cdot\left(\sqrt2\right)^2=16\cdot2=32$ — do kwadratu podnosimy oba czynniki.

Odpowiedź: $r=4\sqrt2$ cm, pole koła $32\pi\approx100{,}5$ cm$^2$.

Krok 1 — odcinki proste:

$$2\cdot100=200\ \text{m}$$

Krok 2 — dwa półkola. Dwa półkola o tym samym promieniu tworzą razem pełny okrąg:

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot35=219{,}8\ \text{m}$$

Krok 3 — łączna długość okrążenia:

$$200+219{,}8=419{,}8\ \text{m}$$

Kontrola sensu: standardowa bieżnia lekkoatletyczna ma około $400$ m, więc wynik jest realistyczny.

Odpowiedź: jedno okrążenie ma $419{,}8$ metra.

Krok 1 — pole całego koła:

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot100=314\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — jaką część koła stanowi wycinek:

$$\frac{72^\circ}{360^\circ}=\frac15=0{,}2$$

Krok 3 — pole wycinka:

$$P_w=0{,}2\cdot314=62{,}8\ \text{cm}^2$$

Krok 4 — udział procentowy:

$$0{,}2=20\%$$

Warto zauważyć: stosunek kątów, stosunek pól i udział procentowy to ta sama liczba wyrażona na trzy sposoby — dlatego procent można odczytać wprost z kąta, bez liczenia pól.

Odpowiedź: pole pomalowanej części to $62{,}8$ cm$^2$, czyli $20\%$ koła.

$$P=a\cdot b=8\cdot5=40\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź B ($26$) to obwód, a nie pole.

Odpowiedź: C. $40$ cm$^2$.

$$O=2(a+b)=2(8+5)=2\cdot13=26\ \text{cm}$$

Odpowiedź: $26$ cm.

$$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{14\cdot6}{2}=42\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $42$ cm$^2$.

$$P=\pi r^2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Pułapka: odpowiedź A ($31{,}4$) to długość okręgu ($2\pi r$), a nie pole koła.

Odpowiedź: B. $78{,}5$ cm$^2$.

$$L=2\pi r=2\cdot3{,}14\cdot7=43{,}96\ \text{cm}$$

Odpowiedź: około $43{,}96$ cm.

$$P=a\cdot h=10\cdot4=40\ \text{cm}^2$$

Uwaga: wysokość musi być prostopadła do podstawy — to nie długość boku ukośnego.

Odpowiedź: A. $40$ cm$^2$.

$$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(12+8)\cdot5}{2}=\frac{100}{2}=50\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $50$ cm$^2$.

$$P=\frac{e\cdot f}{2}=\frac{10\cdot12}{2}=60\ \text{cm}^2$$

Częsty błąd: pominięcie dzielenia przez $2$ — dałoby wynik dwa razy za duży.

Odpowiedź: $60$ cm$^2$.

Krok 1 — bok kwadratu:

$$a=\sqrt{49}=7\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=4\cdot7=28\ \text{cm}$$

Odpowiedź: D. $28$ cm.

Krok 1 — drugi bok:

$$b=\frac{72}{9}=8\ \text{cm}$$

Krok 2 — obwód:

$$O=2(9+8)=34\ \text{cm}$$

Odpowiedź: drugi bok $8$ cm, obwód $34$ cm.

Pole koła to $\pi r^2$, a $2\pi r$ (odpowiedź A) to długość okręgu.

Jak zapamiętać: pole zawsze zawiera kwadrat długości (bo mierzymy powierzchnię), a obwód jest liniowy.

Odpowiedź: B. $\pi r^2$.

Krok 1 — promień to połowa średnicy:

$$r=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot6^2=36\pi\ \text{cm}^2$$

Pułapka: podstawienie średnicy zamiast promienia dałoby $144\pi$ — wynik cztery razy za duży.

Odpowiedź: $36\pi\approx113$ cm$^2$.

Przekształcamy wzór:

$$h=\frac{2P}{a}=\frac{2\cdot54}{12}=\frac{108}{12}=9\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $\frac{12\cdot9}{2}=54$ cm$^2$ ✔

Odpowiedź: wysokość $9$ cm.

Krok 1 — bok:

$$a=24:4=6\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole:

$$P=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: C. $36$ cm$^2$.

Krok 1 — obwód działki:

$$O=2(30+20)=100\ \text{m}$$

Krok 2 — koszt:

$$100\cdot28=2800\ \text{zł}$$

Uwaga: do ogrodzenia liczy się obwód, nie pole.

Odpowiedź: $2800$ zł.

$1$ m$^2=10\,000$ cm$^2$, więc:

$$50\,000:10\,000=5\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: A. $5$ m$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=6\cdot6=36\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole trójkąta:

$$P_2=\frac{6\cdot4}{2}=12\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — suma:

$$P=36+12=48\ \text{cm}^2$$

Odpowiedź: $48$ cm$^2$.

Krok 1 — pole kwadratu:

$$P_1=10\cdot10=100\ \text{cm}^2$$

Krok 2 — pole koła:

$$P_2=3{,}14\cdot25=78{,}5\ \text{cm}^2$$

Krok 3 — różnica:

$$P=100-78{,}5=21{,}5\ \text{cm}^2$$

Obserwacja: koło wpisane w kwadrat zajmuje około $78,5\%$ jego pola — na odpady zostaje niecałe $22\%$.

Odpowiedź: $21{,}5$ cm$^2$.

Krok 1 — suma sąsiednich boków:

$$2(a+b)=40 \quad\Rightarrow\quad a+b=20$$

Krok 2 — oznaczenia. Niech szerokość to $x$, wtedy długość $x+4$:

$$x+(x+4)=20 \quad\Rightarrow\quad 2x=16 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Krok 3 — wymiary i pole:

$$8\ \text{cm} \times 12\ \text{cm},\qquad P=96\ \text{cm}^2$$

Sprawdzenie obwodu: $2(8+12)=40$ cm ✔

Odpowiedź: $8$ cm na $12$ cm, pole $96$ cm$^2$.

Ścieżka to pierścień między dwoma kołami.

Krok 1 — promień zewnętrzny:

$$R=3+1=4\ \text{m}$$

Krok 2 — pola obu kół:

$$P_{zew}=\pi\cdot16=16\pi,\qquad P_{wew}=\pi\cdot9=9\pi$$

Krok 3 — pole ścieżki to różnica:

$$P=16\pi-9\pi=7\pi\approx22\ \text{m}^2$$

Uwaga: nie wystarczy pomnożyć obwodu przez szerokość — ścieżka na zewnątrz jest „szersza” w sensie pola niż prosty pasek.

Odpowiedź: $7\pi\approx22$ m$^2$.

$$P=\pi r^2$$

Odpowiedź: B. $\pi r^2$.

$$L=2\pi r$$

Odpowiedź: A. $2\pi r$.

$$P=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Odpowiedź: $25\pi$.

$$d=2r$$

Odpowiedź: C. dwóm promieniom.

Krok 1 — promień: $r=\frac{10}{2}=5$.

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot5^2=25\pi$$

Odpowiedź: $25\pi$.

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\approx16\cdot3{,}14=50{,}24$$

Odpowiedź: około $50{,}24$.

$$L=2\pi\cdot7=14\pi$$

Odpowiedź: D. $14\pi$.

Z wzoru $P=\pi r^2$:

$$\pi r^2=36\pi \quad\Rightarrow\quad r^2=36 \quad\Rightarrow\quad r=6$$

Odpowiedź: $r=6$.

$$P=\pi\cdot1^2=\pi$$

Odpowiedź: B. $\pi$.

Krok 1 — pole pierścienia to różnica pól kół:

$$P=\pi\cdot5^2-\pi\cdot3^2=25\pi-9\pi$$

Krok 2 — obliczamy:

$$=16\pi$$

Odpowiedź: $16\pi$.

Krok 1 — pole całego koła: $\pi\cdot6^2=36\pi$.

Krok 2 — połowa:

$$\frac{36\pi}{2}=18\pi$$

Odpowiedź: $18\pi$.

Pole zależy od kwadratu promienia:

$$\pi(2r)^2=4\pi r^2$$

Odpowiedź: A. $4$-krotnie.

Krok 1 — promień: $r=4$ m.

Krok 2 — obwód:

$$L=2\pi\cdot4=8\pi\approx25{,}12\ \text{m}$$

Krok 3 — pole:

$$P=\pi\cdot4^2=16\pi\approx50{,}24\ \text{m}^2$$

Odpowiedź: obwód $\approx25{,}12$ m, pole $\approx50{,}24$ m².

Krok 1 — promień z obwodu:

$$2\pi r=20\pi \quad\Rightarrow\quad r=10$$

Krok 2 — pole:

$$P=\pi\cdot10^2=100\pi$$

Odpowiedź: $100\pi$.

Krok 1 — pole całego koła: $\pi\cdot8^2=64\pi$.

Krok 2 — kąt $90^\circ$ to $\frac{90}{360}=\frac14$ pełnego koła:

$$P=\frac14\cdot64\pi=16\pi$$

Odpowiedź: $16\pi$.

Krok 1 — pole kwadratu: $10^2=100$.

Krok 2 — promień koła (średnica = bok kwadratu): $r=5$.

Krok 3 — pole koła: $\pi\cdot5^2=25\pi\approx78{,}5$.

Krok 4 — pole poza kołem:

$$100-78{,}5=21{,}5$$

Odpowiedź: około $21{,}5$.

Krok 1 — pole koła: $P=\pi r^2$.

Krok 2 — dzielimy przez $r^2$:

$$\frac{P}{r^2}=\frac{\pi r^2}{r^2}=\pi \qquad ∎$$

Wniosek. Iloraz nie zależy od $r$ — to stała $\pi$. Właśnie tak można zdefiniować $\pi$: jako stały stosunek pola koła do kwadratu promienia (albo obwodu do średnicy).

Sprawdzenie: dla $r=5$: $\frac{25\pi}{25}=\pi$ ✔

1. Kąt wpisany to połowa kąta środkowego: $55^\circ$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? C — pomnożono zamiast podzielić; D — $180^\circ-110^\circ$.

1. $|\angle AOB|=2\cdot40^\circ=80^\circ$.
2. $\triangle AOB$ równoramienny: $|\angle OAB|=\frac{180^\circ-80^\circ}{2}=50^\circ$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? C — to kąt środkowy $AOB$, a nie kąt przy wierzchołku $A$.

1. Kąt $ACB$ jest oparty na średnicy, więc $|\angle ACB|=90^\circ$.
2. $|\angle ABC|=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$.

Odpowiedź: C

1. W czworokącie wpisanym przeciwległe kąty sumują się do $180^\circ$: $180^\circ-75^\circ=105^\circ$.

Odpowiedź: D

Dlaczego nie pozostałe? A — przeciwległe kąty są równe tylko w równoległoboku; tu się dopełniają.

1. Promień $OA$ jest prostopadły do stycznej, więc $\triangle OAB$ jest prostokątny.
2. $|OB|=\sqrt{25+144}=13$.

Odpowiedź: A

Dlaczego nie pozostałe? B — dodane długości; D — odjęte kwadraty (przeciwprostokątną jest $OB$).

1. $l=\dfrac{120^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi\cdot6=\dfrac13\cdot12\pi=4\pi$.

Odpowiedź: B

Dlaczego nie pozostałe? A — pole wycinka ($\frac13\cdot36\pi$); D — cały obwód bez podziału.

1. $P=\dfrac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot36=6\pi$.

Odpowiedź: C

Dlaczego nie pozostałe? D — długość łuku, a nie pole.

1. 1. Warunek czworokąta opisanego: $5+9=7+x \Rightarrow x=7$ — prawda.
2. 2. Obwód: $5+7+9+7=28\ne30$ — fałsz.

Odpowiedź: P, F

1. $3x-10=2(x+10) \Rightarrow 3x-10=2x+20 \Rightarrow x=30$.
2. $|\angle ACB|=30+10=40^\circ$ (kontrola: środkowy $80^\circ$ ✓).

Odpowiedź: $x=30$, $|\angle ACB|=40^\circ$

1. $AC$ — średnica, więc $|\angle ABC|=|\angle ADC|=90^\circ$.
2. $\triangle ABC$: $|\angle BCA|=180^\circ-90^\circ-28^\circ=62^\circ$. $\triangle ACD$: $|\angle DAC|=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ$.
3. $|\angle A|=28^\circ+50^\circ=78^\circ$, $|\angle C|=62^\circ+40^\circ=102^\circ$, $|\angle B|=|\angle D|=90^\circ$.
4. Kontrola: $78^\circ+102^\circ=180^\circ$ — czworokąt wpisany ✓.

Odpowiedź: $78^\circ,\ 90^\circ,\ 102^\circ,\ 90^\circ$